Beroende slumpade variabler

Om de vore oberoende händelser så hade det varit möjligt att inget pussel blev valt.

Om vi säger att Alice väljer sina pussel först så ska Bob välja exakt tre av de fem pussel Alice valde. Det kan han göra på 5!/(3!2!) sätt. Totalt kan han välja fem pussel på 7!/(5!2!) sätt, så sannolikheten att alla pussel blir valda är (5!/(3!2!))/(7!/(5!2!)) = 10/21.

Sannolikheten att alla pussel blir lösta är 10/21*0,8^3*0,5^2*0,6^2 = 2,2 %.

Tips dela upp det i an rad oberoende händelser:

Händelse ett som behöver ske är att alla pussel bli valda. Tänker då på komplementhändelsen, vad är chansen att något pussel ej väljs av båda. Enklast är att tänka vad är chansen för tex pussel A att ej väljas av båda? Jo 2/7*2/7 = 4/49.

Men denna sannolikhet måste vara lika stor för alla 7 pussel ---sannolikhet för att något av de sju pusslen ej väljs = 7* 4/49 = 28/49.

Då vet man att chansen att ta sig förbi detta första steg är 1- 28/49 = 21/49.

Nu vet man att Bob måste välja 2 pussel som ej valts av Alice. Och vice versa. Alltså har de tre pussel som de valt gemensamt. Man kan nu stega fram och det första steget är att någon av dem måste klara det första gemensamma pusslet.

Sannolikheten för det är 1-0.4*0.5 = 0.8 (komplementet till att båda missar.)
Detta gäller även för de två följande gemensamma pusslen.
Sedan har man två pussel som Bob måste klara själv, sannolikhet 0.5 på båda och två som Alice måste klara själv sannolikhet 0.6

Dessa steg är oberoende och därmed kan man multiplicera varje steg för att få den slutliga sannolikheten:
21/49* (0.8)^3*(0.5)^2*(0.6)^2

Dubbelkolla!

Båda svaren ger rätt så programmet som kollar avrundar till 2%. Så blev nyfiken på vem av er som har rätt så och rätt svar verkar vara det casefold.

Kan du förklara mer om varför "Händelse ett som behöver ske är att alla pussel bli valda. Tänker då på komplementhändelsen, vad är chansen att något pussel ej väljs av båda. Enklast är att tänka vad är chansen för tex pussel A att ej väljas av båda? Jo 2/7*2/7 = 4/49."?

Förstår jag rätt i att det Igni-ferroque's lösning antar att Alice och Bob kan välja att inte göra något pussel eller säg bara 3 pussel var?

Båda svaren ger rätt så programmet som kollar avrundar till 2%. Så blev nyfiken på vem av er som har rätt så och rätt svar verkar vara det casefold.

Kan du förklara mer om varför "Händelse ett som behöver ske är att alla pussel bli valda. Tänker då på komplementhändelsen, vad är chansen att något pussel ej väljs av båda. Enklast är att tänka vad är chansen för tex pussel A att ej väljas av båda? Jo 2/7*2/7 = 4/49."?

Förstår jag rätt i att det Igni-ferroque's lösning antar att Alice och Bob kan välja att inte göra något pussel eller säg bara 3 pussel var?

Så, om jag nu förstått allt rätt och för att sammanfatta för framtida generationer kan man säga såhär:

Slh att alla 7 pussel väljs är slh att Bob väljer de två pussel Alice inte valde, vilket är: (5 välj 3)(2 välj 2)/(7 välj 5).

Slh att Alice löser sina två egna och att Bob löser sina två egna är, i ordning: 0.6^2*0.5^2.

Slh att åtminstone någon av dem löser ett gemensamt pussel är: 1 - p(att ingen av dem löser ett gemensamt pussel) = 1 - 0.4*0.5 = 0.8, så slh att alla tre gemensamma blir löst av någon utav dem är: 0.8^3.

Dessa händelser är i sig oberoende -> multiplikationsregeln ->

p(alla pussel blir lösta) = ( (5 välj 3)(2 välj 2)/(7 välj 5) ) * ( 0.6^2*0.5^2 ) * ( 0.8^3 ) = 0.0219

Det ser vettigt ut, beklagar mitt påvra resonemang tidigare idag.