Beroende slumpade variabler

Frågan är:
Alice löser pussel med en sannolikhet på 0.6, och Bob med en sannolikhet på 0.5. Dom ges 7 pussel och från dessa väljer vardera ut 5 av de 7 pusslen slumpmässigt och försöker lösa pusslen oberoende. Ett pussel anses löst om någon av dem har löst det. Vad är sannolikheten att alla 7 pussel blir lösta?

Ett par saker som är uppenbart är t.ex. att varje pussel måste blivit valt av antingen Alice eller Bob.
Har även funderat på sannolikheten att Alice väljer de två som Bob inte väljer, vice versa, Alice löser dom två som Bob inte löser, vice versa, Alice eller Bob löser dom tre som båda väljer.

Men hur räknar man ut detta? Har helt kört fast.

Kombinatorik är den delen av matematiken du ska använda dig utav.

Tips dela upp det i an rad oberoende händelser:

Händelse ett som behöver ske är att alla pussel bli valda. Tänker då på komplementhändelsen, vad är chansen att något pussel ej väljs av båda. Enklast är att tänka vad är chansen för tex pussel A att ej väljas av båda? Jo 2/7*2/7 = 4/49.

Men denna sannolikhet måste vara lika stor för alla 7 pussel ---sannolikhet för att något av de sju pusslen ej väljs = 7* 4/49 = 28/49.

Då vet man att chansen att ta sig förbi detta första steg är 1- 28/49 = 21/49.

Nu vet man att Bob måste välja 2 pussel som ej valts av Alice. Och vice versa. Alltså har de tre pussel som de valt gemensamt. Man kan nu stega fram och det första steget är att någon av dem måste klara det första gemensamma pusslet.

Sannolikheten för det är 1-0.4*0.5 = 0.8 (komplementet till att båda missar.)
Detta gäller även för de två följande gemensamma pusslen.
Sedan har man två pussel som Bob måste klara själv, sannolikhet 0.5 på båda och två som Alice måste klara själv sannolikhet 0.6

Dessa steg är oberoende och därmed kan man multiplicera varje steg för att få den slutliga sannolikheten:
21/49* (0.8)^3*(0.5)^2*(0.6)^2

Dubbelkolla!

Intressant, varför 2/7 och inte 1/7?

Hm försöker komma på en liknelse, men tänk att man har de 7 lådorna med pussel, man ser bara skillnad på framsidan. Baksidan ligger upp och man har en hög med 5 pussel som valts och sedan de två som ej valts.

Om du vänder på kartongerna så har du två chanser att se tex pussel A. Dvs i två fall av sju kommer pussel A att vara "ovalt".

Mycket bra, nu när jag ser det kan jag säga att det ser ut att stämma! Tack för hjälpen!

Jag tror detta problem är en 'förenkling' av ett problem från andra världskriget, ev. tidigare än så. Problemet var: Om en stridsvagn slår ut en fiendestridsvagn med slh p och man själv har N stridsvagnar och fienden har M stridsvagnar, men varje stridsvagn kan endast sikta mot R fiendestridsvagnar, vad är sannolikheten att man vann, dvs. att man slog ut samtliga fiendestridsvagnar.

Intressant trivia, vad menas med "slh p"

slh = sannolikheten
p = ett värde i [0,1]

PS. Svaret ovan beräknas till 0.0197
Stämmer det?
Iom med väljer 5 av 7, samtidigt som slh:na för att lösa pusslen båda är >1/2, borde slh vara tämligen hög.

Jag har ju inte facit men tror svaret är rimligt, en ( i mina ögon) intressant liknelse är en elektrisk krets med låt säga 7 seriekopplade komponenter. Dessa komponenter har 95% chans att fungera rätt om en elektrisk puls inkommer.

Men om någon enda komponent ger en felaktig respons så får man fel utsignal. Sannolikheten för att alla 7 skall funka är 0,95^7 = 0,70(ungefär). Så det sjunker ju rätt rejält.

Om man delar upp pusslandet så har man ju ett liknande scenario, man måste klara varje individuellt steg.

Ja det är korrekt.

Om de vore oberoende händelser så hade det varit möjligt att inget pussel blev valt.

Om vi säger att Alice väljer sina pussel först så ska Bob välja exakt tre av de fem pussel Alice valde. Det kan han göra på 5!/(3!2!) sätt. Totalt kan han välja fem pussel på 7!/(5!2!) sätt, så sannolikheten att alla pussel blir valda är (5!/(3!2!))/(7!/(5!2!)) = 10/21.

Sannolikheten att alla pussel blir lösta är 10/21*0,8^3*0,5^2*0,6^2 = 2,2 %.