Skissa grafer?

Matte C. Om ni har kursboken Matematik 3000 komvux versionen så är det s.142.

Det avsnitt jag håller på med just nu är att skissa grafer genom att använda stora |x| och små |x|. Jag förstår hur det går till att få fram stora |x| och små |x| ur en funktion men jag förstår inte hur man ska använda metoden för att skissa grafer.

Jag kan ta ett exempel.
y = x^3 - 4x + 1
för stora |x| är y = x^3
för små |x| är y = -4x + 1

Jag vet inte alls utifrån detta hur jag ska rita. Kan någon förklara eller hänvisa?

I mitten (ganska godtyckligt ) Ser kurvan ut som -4x + 1, ett litet stycke rät linje alltså, när vi sedan går en bit ifrån y-axeln kommer den bete sig mer likt x^3, testa att grafa funktionen t.ex. här: http://people.hofstra.edu/staff/stev...Graf/Graf.html så ser du vad jag menar.

Hur vet jag att -4x +1 är en rät linje? Hur får man reda på hur x^3 se ut? Eller t ex y = 3x^2

Hur vet jag att -4x +1 är en rät linje? Hur får man reda på hur x^3 se ut? Eller t ex y = 3x^2 för små |x|?

Funktioner av typen y = kx+m är alltid räta linjer! Dvs med variabeln x upphöjt till 1, och så plus någon konstant.

Om y = kx, så går linjen genom origo. Den sortens räta linjer kallas proportionalitet. När man säger att "priset är proportionellt mot vikten" för en vara så menar man att pris = k*vikt, där k är en konstant. I detta fall är k>0 (k=0 innebär gratis; k<0 innebär att man får betalt).

Om istället y = k*x+m så innebär x=0 att y=m, dvs inte längre proportionalitet. Då kommer startvärdet att ligga på m. Ungefär som att du måste betala inträdesavgift på t.ex. en mässa, och sedan i vanlig ordning får köpa prylar till bestämda priser. Även om du inte köper någonting, så är totala kostnaden för mässbesöket = inträdesavgiften.

Konstanten k är riktningskoefficienten för linjen, dvs säger hur mycket den lutar. Praktiskt bestäms den genom att man tar 2 olika punkter på linjen, säg punkterna (x1,y1) och (x2,y2). Då bestämmer man k genom att bilda kvoten (y2-y1)/(x2-x1).

Matematiskt:

y1=k*x1+m
y2=k*x2+m

Bilda skillnaden:

y2-y1=(k*x2+m)-(k*x1+m)=k*(x2-x1)

Dividera med (x2-x1):

(y2-y1)/(x2-x1) = k

Ett sätt att ta reda på hur funktionen ser ut är teckenstudium. Derivera y = 3x^2, ger y´(x)= 3*2x = 6x.

För negativa x är y´(x)<0, dvs funktionen y(x) är avtagande.
För positiva x är y´(x)>0, dvs funktionen y(x) är växande.

I x=0 är y´(x)=0, dvs funktionen har antingen ett lokalt minimum, lokalt maximum eller en terasspunkt(=platåpunkt) i origo.
För att avgöra vilket, tittar man på värdena utanför origo. Eftersom y(x) är avtagande för negativa x, och växande för positiva x, så måste y(0) vara ett lokalt minimum.

Och sätter du in några värden i ett koordinatsystem så ser du att det blir en parabel (en upp och nervänd "äggtopp") med minimum i origo.

Fallet y = x^3 är annorlunda. Samma sorts teckenstudium ger y´(x)=3x^2. Det innebär att y´är >0 både för negativa och positiva x. Således är y(x) växande för negativa och positiva x.
I origo gäller y´(0)=0. Eftersom y(x) är växande både för negativa och positiva x, så får man i origo inget lokalt min eller max, utan istället en terasspunkt. Det som kännetecknar en sådan punkt är att riktningskoefficienten (dvs y´(x)) är noll i punkten, men trott detta är funktionen strängt växande (eller strängt avtagande) utanför denna punkt.