En låda innehåller 6 vita och 4 svarta kulor - chansen att välja minst 2 svarta kulor

Jag förstår inte riktigt hur det är meningen att man ska tänka på den här typen av uppgifter:

"En låda innehåller 6 vita och 4 svarta kulor - hur stor är chansen att man väljer minst 2 svarta kulor om man väljer totalt 3 kulor på måfå?"

Vilka resonemang ska jag använda mig av här?
Jag är lite osäker på var jag ska börja någonstans.
I just det här fallet så skulle jag ju antagligen kunna rita ett träddiagram och räkna mig fram till sannolikheten på det sättet, men den metoden skulle givetvis bli väldigt olämplig när man börjar syssla med riktigt stora antal, så finns det något mer matematiskt sätt att tänka sig fram här?

13.2% - fel svar.

Edit - missade att det var tre kulor som skulle väljas och att två svarta ej behöver komma i följd.

Nytt svar - 39.6%

/Ej gått ut grundskolan

Ps - jag vill gärna veta svaret.

Tänkte fel kulorna tar ju slut

Då blir det nog 40 % av 40 % = 16 %

Oj en chans till på 6.4 % 24.4 %

Tänk komplementhändelsen: vad är sannolikheten att jag tar max 1 svart kula?
Denna blir "sannolikheten för bara vita" + "sannolikheten för 2vita och 1 svart"

Dra sedan denna sannolikhet från 1 och du får sannolikheten för att dra "minst 2 svarta".

jag fick svaret 0.333... men vad fan vet jag

Jag testade mig fram lite grand och kom fram till den här metoden:

sannolikhet för svart kula på första försöket = (4/10)
sannolikhet för svart kula på andra försöket = (4/10)⋅(3/9)
sannolikhet för vit kula på tredje försöket = (4/10)⋅(3/9)⋅(6/8)
antal olika sätt att dra ovanstående kulor = 3

Sannolikheten för att få minst 2 svarta kulor borde då alltså bli 30%...?
Är det här rätt tänkt?
Det låter då som en ganska vettig siffra i alla fall.

Låt S vara antalet svarta kulor.
S är hypergeometriskt fördelat, Hyp(3,4,10), och vi har att
P[S≥2] = p_S(2) + p_S(3) = Bin(4,2)Bin(6,1)/Bin(10,3) + Bin(4,3)Bin(6,0)/Bin(10,3) = 6*6/120 + 4*1/120 = 40/120 = 1/3.

N.B. Bin(x,y) = "x över y".

MMA (för de intresserade):

Sådant där står ju bra förklarat i böckerna om matematisk statistik. Du måste iaf se varje plockning som ett separat lotteri med sina egna förutsättningar och sedan summera. Du kan börja med ngt ännu enklare exempel kanske och arbeta dig uppåt i komplexitet. Förstå vad som skiljer de enkla exemplena från de lite mer komplicerade. Tillsammans med en kurskamrat är bäst.

Gå tillbaka till kombinatorikens grundläggande definition av sannolikhet som antalet gynnsamma utfall dividerat med totala antalet möjliga utfall.

Här handlar det om urval utan återläggning och utan hänsyn till ordningen. Då är antalet möjliga sätt att välja ut n element ur en grupp av N lika med biomialkoefficienten "N över n", d.v.s. N!/((N-n)! n!).

Totala antalet möjliga utfall är alla sätt att välja 3 kulor av 10.

Antalet gynnsamma utfall är alla sätt att välja 3 svarta (av 4), plus alla sätt att välja 2 svarta (av 4) och 1 vit (av 6).

Sannolikhet = (4!/((4-3)! 3!) + 4!/((4-2)! 2!) 6!/((6-1)! 1!)) / (10!/((10-3)! 3!)) = (4 + 36)/120 = 1/3

Man kan även lösa ut det med ett sannolikhetsträd:

Då finns det 4 sätt att som uppfyller att plocka minst 2 svarta kulor:

vbb+bbv+bvb+bbb

(6/10)*(4/9)*(3/8)+(4/10)*(3/9)*(6/8)+(4/10)*(6/9)*(3/8)+(4/10)*(3/9)*(2/8)=1/3=33%

36,00 % om man plockar båda samtidigt och ser det hela som en total.

Hej, blir ett litet snabbt och stressat svar, men jag tror det här är rätt likt något jag tänkte fel på i någon tråd så liknande har varit uppe på forumet förut så leta och du hittar.

I alla fall jag hade tänkt såhär:
Sannolikheten för tre svarta i rad: (4/10)*(3/9)*(2/8) = dubbelkolla = (1/30)
Sannolikheten för att första är vit och de andra två svarta: (6/10)*(4/9)*(3/8)=(1/10)
Sannolikheten för andra vit: (4/10)*(6/9)*(3/8)= (1/10)
Sannolikheten för sista vit: (4/10)*(3/9)*(6/8)= (1/10)

Totalt: (3/10) + (1/30) = 1/3

OBS huvudräkning så dubbelkolla.

Det som kanske är intressant är att om man gjorde en tabell med sannolikheterna så sker en summering längs raden för 2 svarta.

Kanske finns det något i boken om marginaliserade frekvensfunktioner eller så? Tror det kan vara en ide att läsa där, fast det borde nog jag också så dubbelkolla allt.

Man kan också rita upp ett träddiagram där man följer alla möjliga vägar och sedan summerar.