Analysens huvudsats

Får inte riktigt ihop det. Första delen av AHS säger att man kan räkna ut integralen från a till x för funktionen f(t) genom att räkna ut den primitiva funktionen av f(t): A(x). Men andra delen säger att man kan räkna ut integralen från a till x genom att räkna ut F(x) - F(a), där F är en primitiv funktion till f(t). När jag försöker förstå det så verkar det som om att man i den första delen glömmer att dra bort A(a), dvs dra bort primitiva funktionen av den undre gränsen.

Var står detta? Låter som ett skrivfel.

Här är det som gäller, din text orkade jag inte läsa gav upp den var rörig.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Analysens_fundamentalsats

Vilken del låter som skrivfel?

Att A(x) borde vara F(x). I övrigt, läs wikilänken ovan.

Jag har läst men förstår inte.

Som jag förstår det så säger teoremet, med benämning enligt wiki, att F(x) är en primitiv funktion till f(x). Och denna har samma värde som integralen. Men andra delen säger att värdet på en integral räknas ut genom subtrahera två primitiva funktioner. I mitt huvud blir det motsägelsefullt. Jag vet att jag tänker fel någonstans.

Grafiskt är det enkelt att inse. Du delar ju upp arean under en kurva med en massa (oändligt många) staplar, en del av staplarna kommer ligga över grafen och den arean ska alltså tas bort för att få arean under kurvan.

Du får en konstant när du bestämmer en primitiv funktion. Det spelar ingen roll vad den är när du beräknar differensen, men den kan väljas så den passar integralen.
Integralen motsvarar ytan under kurvan, och för att få den yta man är intresserad av måste konstanten väljas rätt, vilket inte är självklart lätt. Ett knep är då att dra bort allt som är till vänster om det område man är intresserad av, så försvinner konstanten. Därför kommer du använda F(x) - F(a) så ofta, att du riskerar glömma bort att det egentligen finns en okänd konstant i den primitiva funktionen.

Jag ser att du fått flera korrekta svar, men jag lägger ändå in mitt eftersom det är utförligare och förhoppningsvis lite tydligare för den som inte redan förstår. Jag syftar nedan på satsen som den formuleras i https://sv.wikipedia.org/wiki/Analysens_fundamentalsats.

Den första delen säger att det finns en primitiv funktion F(x) som har samma värde som integralen, men inte att alla primitiva funktioner har samma värde som integralen. De vanliga uttrycken för primitiva funktioner anger egentligen familjer av funktioner genom att ha med en obestämd konstant som brukar benämnas C. För f(x)=x är ju t.ex. F(x)=x²/2 + C. Om du nu ska beräkna integralen mellan 1 och 4 för f(x) vet du att det visserligen finns en funktion F(x) på den formen som ger integralen i punkten x=4, men eftersom C är obestämd duger detta inte för att få ut ett numeriskt värde. Som satsen är formulerad beror i själva verket detta C på den nedre gränsen a.

Den andra delen av satsen säger något om detta beroende av a, vilket är den extra pusselbit du behöver för att bestämma integralen i praktiken. Om du sätter in uttrycket för den primitiva funktionen som G(x) och G(a) i den andra delen, kommer C att förekomma två gånger, fast på motsatta sidor av likhetstecknet. Då tar de ut varandra, och du slipper bekymra dig om vilket värde C egentligen har för den nedre gränsen a.

Så det finns ingen motsägelse, men det är egentligen bara del två som behövs för att bestämma en integrals värde över ett intervall. Del två använder begreppet primitiv funktion som om det redan var välbekant för läsaren. Del ett fungerar lite som en definition av begreppet primitiv funktion, och det kanske hade varit lite tydligare om detta förklarats explicit.

Ok. Det jag rörde ihop var att jag tänkte att F(x) och G(x) tvunget skulle vara samma primitiva funktion. Tack.

Så den första delen säger alltså inget om hur man räknar ut integralen, bara att det FINNS en primitiv funktion som kan bestämma värdet på integralen?

Definition av primitiv funktion: https://sv.wikipedia.org/wiki/Primitiv_funktion

När jag läser definitionen så tänker jag att den bara säger att F är en primitiv funktion, inte att den med säkerhet kan bestämma värdet på integralen. Vad händer tex med f(x) = x^3 om b = oändligheten?

Precis. Del 1 är den svårare delen att bevisa och brukar användas för att bevisa del 2. Man hade kunnat låta satsen bestå enbart av del 2 och låtit del 1 vara ett lemma inom beviset, men gissningvis är del 1 så pass användbar i sig att man valt att lyfta fram båda delarna.