Funkar bara kurvatur med tre, fyra eller fem räta vinklar?

Är det bara med tre, fyra eller fem räta vinklar som det går att visuellt måla upp dem som exempel på ytor med positiv, neutralt respektive negativ gaussisk kurvatur?

Tre räta vinklar på ytan av en rund sfär med en liksidig triangel typ, fyra på en kvadrat och fem som pentagon på ytan av en kon med negativ krökning. Finns det fler med annan negativ krökning som är högre än fem?

Ja. I ett plan med konstant negativ krökning kan man ha hur många hörn som helst på en liksidig figur där alla hörn är 90°. Hur vet jag det? För att avvikelsen från den euklidiska vinkelsumman växer proportionellt mot polygonens yta. Detta följer nära på direkt från sambandet mellan krökningstensorn och hur en vektors vinkel ändras vid s k parallelltransport i en sluten bana.

Ta t ex just trianglar, definierade av de kortaste linjerna mellan 3 punkter. Vi kan också se till att alla sträckor är lika långa. Ta just den triangel du själv nämnde för positiv krökning, med räta vinklar i varje hörn, med t ex ett hörn på nordpolen, och två kanter som startar därifrån med 90° vinkel, och går ned 1000 mil till varsin punkt på ekvatorn, och där dessa två punkter förenas med en 3e kant längs ekvatorn. Vinkelsumman blir 3•90°, dvs 90° "för mycket". Men hur stora blir vinkelsummorna för de TVÅ trianglar som bildas om man delar upp denna stora triangel med en ny kant, mitt emellan de två som går från nordpolen? Rita lite och tänk...

Var och en får då vinkelsumman 2•90°+45°, dvs halva ytan OCH hälften så mycket vinkelsumma "för mycket".

På en negativt krökt yta blir det istället mindre vinkelsumma än för en plan yta. Ju större yta desto större avvikelse nedåt. Och detta märks just på att vinkeln i varje hörn blir mindre. Så om man tar t ex en hexagon med 120° mellan hörnen enl Euklides, så är det bara att göra den tillräckligt stor för att vinklarna ska krympa till 90°. Eller ännu mer.

Så för en negativt krökta yta funkar ALLA polygoner med mer än 4 hörn...

För positivt krökt yta däremot finns det ju bara EN polygon med förre än 4 hörn, dvs triangeln.

----

Det finns dock ett till sätt att visualisera än med bara 90°-vinklar. Vilka sorts polygoner kan man s a s kakla hela ytan med? Ett villkor är att om det möts t ex 5 polygoner i samma hörn så måste varje hörnvinkel vara 360°/5=72°. På en klotyta växer hörnvinklarna med ytan, så om man börjar med en triangel med 60° hörnvinkel enl Euklides, så kan man göra dem precis så stora att hörnvinkeln blir just 72°. Hela ytan kan då "kaklas" på detta sätt med 20 st trianglar, som ser ut som en uppblåst ikosaeder.

På liknande sätt kan man "kakla" en negativ yta, men nu med vilka sorts polyedrar som helst, i tillräckligt antal runt varje hörn för att summan av vinklarna ska bli minst 360° enl Euklides. Du kan t ex ha 11 fyrsidingar som möts i varje hörn.

Finns det visualiseringar på exempel med fler än fem hörn?

Tack vare Escher, JA. I t ex hans kända fladdermusbild (devils?) på ett hyperboliskt rum är den underliggande symmetrin 4 st 6-hörningar som möts i varje hörn. Kolla andra bilden i länken:

https://www.d.umn.edu/~ddunham/isis4/section1.html

Felpost.

Läste inte genom noga.

Dvs geodetiska trianglar.

Grunnade en hel del på detta. Tror mig faktiskt ha kommit ett par på motexempel.

Jag gör följande inskränkningar:

1) antar yta med överallt positiv Gausskrökning, K>0

2) geodetiska polygoner

3) alla polygonens vinklar ska vara 90 grader


I)
Välj först en sfärisk yta.

Med kniv skär vi ut en "apelsinklyfta", vars båda snittkurvor möts i nord- respektive sydpolerna. De båda vinklarna blir då lika stora. Beteckna varje vinkel med θ.
Klyftan är en geodetisk tvåhörning, en "biangel", en polygon som endast är möjlig på en yta med K>0.

Som bekant existerar ingen sådan i det plana fallet K=0, ty då blir vinkelsumman = 0. För ovannämnda tvåhörning blir vinkelsumman = 2θ.

Men, även komplementet, dvs det som blir kvar när vi plockat ut klyftan, är en geodetisk tvåhörning där varje vinkel = (360 - θ) grader. Vinkelsumman i denna är alltså (720 - 2θ) grader.

Vinklarna i klyftan kan väljas godtyckligt mellan noll och 360 grader, således även θ = 90 grader.

Se t.ex: https://mathstat.slu.edu/escher/index.php/Spherical_Geometry


II)
Är geodetiska enhörningar ("monangel") möjliga ? Jo, även det bör vara möjligt på någon yta förutsatt att K>0.

Välj nu en äggtoppsformad yta, t.ex. en uppåtriktad elliptisk paraboloid såsom z = -x²-y².
Då kan man tänka sig en geodetisk kurva som kommer snett nerifrån uppåt mot toppen och löper runt toppen ett varv, skär sig själv i 90 graders vinkel och vänder nedåt igen. Alltså en geodetisk enhörning med en 90-gradersvinkel.

Jag hittade inget exempel för just paraboloiden, men en liknande konstruktion på en konisk yta. Se: https://www.geometrie.tuwien.ac.at/vis/vis171.html
Observera att på en kon gäller K=0 överallt utom i spetsen, där K istället blir distributionsliknande, typ Diracs deltadistribution!

Med lite funderande kan man föreställa sig en liknande självskärande geodetisk kurva på äggtoppsytan istället för konen.

Funderade lite till. Som bekant är det inte möjligt att skapa en sådan monangel på en sfärisk yta med radie R, dvs med K = 1/R² = c, där c en konstant > 0. Men på en elliptisk paraboloid enligt ovan gäller K>0, där dock K inte antar något minsta värde på ytan. För denna yta existerar alltså inget positivt tal c sådant att K > c, c>0, överallt på ytan.

Det kan tänkas att detta är ett åtminstone nödvändigt krav för att det ska existera geodetiska monanglar på en yta. Hur bevisa det? Får grunna vidare.

Observera att om villkor 2) geodetiska polygoner, överges, så kan polygoner med hur många 90-gradersvinklar som helst konstrueras i vilken geometri som helst. Men av hävd kallar vi inte sådana konstruktioner för polygoner ens i det plana fallet.


Ska hämta ett ägg att testa på.