Idag visas de första bilderna på ett svart hål! (10/4-19 15:00)

Ett ickeroterande svart hål beskrivs av Schwarzschildmetriken (i enheter där ljushastigheten c=1, dvs t ex med tidsenheten sekund och längdenheten ljussekund):
ds² = -(1 - R₁/r)dt² + (1 - R₁/r)⁻¹dr² + r² (dθ² + sin²θ dφ²) .
Vi kommer räkna på fotoner som rör sig i "ekvatorplanet" θ=π/2, dvs med konstant θ och därför med dθ=0.
Fotonens världslinje, dvs dess bana genom den 4D rumtiden, beskrivs av
t = t(λ) ,
r = r(λ) ,
θ = π/2 ,
φ = φ(λ) ,
där λ är en s k affin parameter, vilket kort sagt gör ekvationerna lite enklare (utan att förlora något av betydelse). I den vanliga vektorbasen (i differentialgeometri) ger detta 4-hastigheten
U = ∂/∂λ = (dt/dλ)∂/∂t + (dr/dλ)∂/∂r + (dφ/dλ)∂/∂φ ,
utan θ-komponent eftersom θ=konstant, dvs (dθ/dλ)=0.
(Notera att man i denna formalism representerar vektorer med vektorgradienter! Detta ger då automatiskt rätt transformationer mellan olika koordinatbaser och vektorkomponenter. Liknande gäller om den duala basen dxᵢ.)

En metrik (med Einsteins summakonvention, dvs summera över alla index i,j etc som förekommer 2 gånger i samma led)
ds² = gᵢⱼ dxⁱdxʲ
(notera att dessa ⁱ resp ʲ inte är exponenter utan s k kontravarianta index) visar alla kvadrater och korsprodukter av basvektorerna ∂/∂xⁱ, enl
∂/∂xⁱ • ∂/∂xʲ = gᵢⱼ .
Enl Schwarzschildmetriken är alla korstermer 0 (dvs det använda koordinatsystemet är ortogonalt), och för resp koordinatbasvektor av intresse har vi
∂/∂t • ∂/∂t = -(1 - R₁/r) ,
∂/∂r • ∂/∂r = (1 - R₁/r)⁻¹ ,
∂/∂φ • ∂/∂φ = r²sin²θ = r²
(där vi har använt att θ=π/2).

För att beräkna banan kan man nu använda den s k geodetekvationen, vilket dock är onödigt krångligt eftersom vi istället i detta fall kan beräkna allt vi vill från rörelsekonstanter som t ex energi. Vilka rörelsekonstanter har vi?

1. 4-hastighetens konstanta längd som är 0 eftersom detta är en foton som rör sig med ljusets hastighet. Dvs
0 = U • U
= ((dt/dλ)∂/∂t + (dr/dλ)∂/∂r + (dφ/dλ)∂/∂φ)
• ((dt/dλ)∂/∂t + (dr/dλ)∂/∂r + (dφ/dλ)∂/∂φ)
= (dt/dλ)²∂/∂t•∂/∂t + (dr/dλ)²∂/∂r•∂/∂r + (dφ/dλ)²∂/∂φ•∂/∂φ
= -(1 - R₁/r)(dt/dλ)² + (1 - R₁/r)⁻¹(dr/dλ)² + r²(dφ/dλ)²

2. Energi. Eftersom metriken inte har något explicit tidsberoende, är den symmetrisk i tiden t, dvs ser likadan ut för alla tidpunkter. Därmed är
K₀ = ∂/∂t
en Killingvektor, och eftersom λ är affin (en av de bra grejerna med detta) så är
K₀ • U = ∂/∂t • ∂/∂λ
en rörelsekonstant. Den rörelsekonstant som hänger ihop med tidssymmetri kallas för energi. Alltså har vi att
E = -K₀ • U
= ∂/∂t • ((dt/dλ)∂/∂t + (dr/dλ)∂/∂r + (dφ/dλ)∂/∂φ)
= (dt/dλ)∂/∂t•∂/∂t = (1 - R₁/r)(dt/dλ)
är en konstant.

3. Rörelsemängdsmoment. Denna rörelsekonstant är förknippad med rotationssymmetri, vilket ses i metriken på att den inte beror explicit på vinkeln φ. Alltså är
K₁ = ∂/∂φ
en killingvektor, och alltså är
K₁ • U = ∂/∂φ • ∂/∂λ
en konstant. Dvs
L = K₁• U
= ∂/∂φ • ((dt/dλ)∂/∂t + (dr/dλ)∂/∂r + (dφ/dλ)∂/∂φ)
= (dφ/dλ)∂/∂φ•∂/∂φ = r² dφ/dλ
är en konstant.

Detta ger nu allt vi behöver. Från 2 och 3 har vi att
dt/dλ = E/(1 - R₁/r)
dφ/dλ = L/r²
och använder vi detta i 1 får vi
0 = -E²/(1 - R₁/r) + (dr/dλ)²/(1 - R₁/r) + L²/r²
dvs
(dr/dλ)² + (L²/r²)(1 - R₁/r) = E² .
Detta är väldigt likt det vanliga Newtonska sambandet för en partikel som rör sig i en potential i en dimension,
"rörelseenergi" + "lägesenergi" = "konstant total energi",
så vi kan använda vår erfarenhet och intuition från det.

Vi KAN nu lösa för r(λ), vilket är lite meckigt men fullt görbart (det handlar ju bara om en ordinär differentialekvation i första ordningen), men detta är faktiskt inte nödvändigt för att härleda det sökta sambandet. Vi söker ju efter en fotonbana som kommer så nära det svarta hålet som möjligt, utan att dras in i det. Så hur nära kan den komma? Det kan man se på "potentialen" ("lägesenergin")
V(r) = (L²/r²)(1 - R₁/r) = L²/r² - L²R₁/r³ .
Plottar man detta V(r) (för något val av parametrar L och R₁), ser man en kurva som går mot -∞ när r går mot 0, och mot 0 när r går mot ∞, och har ett max där
0 = dV/dr = -2L²/r³ + 3L²R₁/r⁴ ,
dvs där
r = R₀ = 3R₁/2 .
Denna "kulle" med höjden
V(R₀) = (L²/R₀²)(1 - R₁/R₀) = 2²L²/(3²R₁²)(1 - 2/3) = (2²/3³)L²/R₁²
fungerar som en potentialbarriär, som hindrar fotoner som kommer utifrån med "energin" E² lägre än V(r₀) från att ramla in det svarta hålet. Dynamiken blir som om man försöker putta en golfboll uppför en backe till ett hål som finns längst upp. Med för låg energi når inte bollen ända upp och kommer vända och rulla ner igen. Det kritiska villkoret för att fotonbana ska komna maximalt nära, utan att ramla in, är alltså
E² = V(R₀) = (2²/3³)L²/R₁² .

För att se vad detta betyder för hur det svarta hålet ser ut på stort avstånd behöver vi byta koordinater. När r är mycket större än Schwarzschildradien R₁, dvs när R₁/r<<1, blir Schwarzschildmetriken identisk med en plan metrik
ds² = -dt² + dx² + dy² + dz²
som i polära koordinater
x = r sin θ cos φ ,
y = r sin θ sin φ ,
z = r cos θ ,
och samma t, vilket ger
ds² = -dt² + dr² + r² (dθ² + sin²θ dφ²) .
I "ekvatorplanet" z=0, dvs där θ=π/2, ger detta de nya basvektorerna
∂/∂t ,
∂/∂r = (∂x/∂r) ∂/∂x + (∂y/∂r) ∂/∂y
= cos φ ∂/∂x + sin φ ∂/∂y
= (x/r) ∂/∂x + (y/r)∂/∂y ,
∂/∂φ = (∂x/∂φ) ∂/∂x + (∂y/∂φ) ∂/∂y
= -r sin φ ∂/∂x + r cos φ ∂/∂y
= -y ∂/∂x + x ∂/∂y .
Fortfarande är metriken symmetrisk i t och φ, så Killingvektorerna är nu alltså
K₀ = ∂/∂t ,
K₁ = ∂/∂φ = -y ∂/∂x + x ∂/∂y .

Låt oss betrakta en ljusstråle med affin parameter λ som är parallell med x-axeln, på avståndet a från den:
t = λ ,
x = λ ,
y = a ,
z = 0 ,
med 4-vektorn
U = (dt/dλ)∂/∂t + (dx/dλ)∂/∂x + (dy/dλ)∂/∂y + (dz/dλ)∂/∂z
= ∂/∂t + ∂/∂x .
Detta ger rörelsekonstanterna
E = -K₀ • U = -∂/∂t • (∂/∂t + ∂/∂x)
= -∂/∂t • ∂/∂t = 1 ,
L = K₁ • U
= (-y ∂/∂x + x ∂/∂y) • (∂/∂t + ∂/∂x)
= - y ∂/∂x • ∂/∂x = -a .

Använder vi nu dessa värden för E och L på uttrycket vi fick fram förut från E²=V(R₀), får vi
1 = 2²/3³ a²/R₁² ,
dvs impact parametern a ges av
|a| = √3³/2 R₁
Vilket Skulle Bevisas.