Elektroner som oberoende kvantpartiklar som påverkas av jonerna - Bandstruktur
Egentligen är ju elektronerna inte fria utan de påverkas av den elektrostatiska potentialen från alla jonerna. Eftersom jonerna är arrangerade (i en kristall) i ett periodiskt 3D mönster så får man således en periodisk potential som elektronerna rör sig i. Man kan nu visa att lösningarna till Schrödingerekvationen i ett sådant fall ges av produkten mellan en plan våg (~exp(i*k*r)) och en funktion som har samma periodicitet som potentialen (Blochs sats). En av de kvanttal som beskriver lösningarna till Schrödingerekvationen är den s.k. vågvektorn k. Det parameterrrum som spänns upp av vågvektorerna k_x, k_y och k_z kallas det reciproka rummet. Det periodiska mönstret av joner, gittret, motsvaras av ett gitter i det reciproka rummet, det reciproka gittret. Man kan nu visa att lösningarna inte bara är periodiska i direkta rummet utan även i reciproka rummet. Energin som funktion av k är således periodisk i tre särskilda vektorer k1, k2 och k3. Periodiciteten i det reciproka rummet avgörs av den minsta cell som kan användas som byggsten för det reciproka rummets gitter - den första Brillouinzonen. Enligt ett särskilt schema kan vi konstreura första, andra, tredje, .. Brillouinzonen. Detta är ett viktigt koncept eftersom när man tittar på energin som en funktion vågvektorn k så kommer energin att göra ett hopp vid varje Brillouinzongräns. Således försöker elektronerna att besätta k-punkter så att minimalt antal gränser passeras eftersom det kostar energi.
Bloch-funktioner
Brillouinzoner
Det andra kvanttalet som beskriver lösningarna är det s.k. bandindexet n. Lösningarna till Schrödingerekvationen för elektroner i en potential ges av den s.k. bandstrukturen
E(n,k)
där k är en vektor och n är ett heltal. Det är en funktion i k med flera grenar. Varje band (= varje gren = varje n) kan hålla 2*N elektroner där N är antalet celler i materialet. I ett material med 4 elektroner per cell så kommer således två band att vara helt fyllda. I fri elektronmodellen är
E(k) = hbar^2*k^2/(2*m) (hbar är Plancks konstant / 2*pi)
medan den i den mer kompletta teorin kan ha ett mer komplext utseende.
Bandstruktur
Tittar man på utseendet av E(n,k) nära första Brillouinzongränser finner man att det finns två lösningar som motsvarar lösningar med olika symmetri hos vågfunktionen. Detta ger upphov till ett energigap så att de olika banden är separerade med en viss energi. Lägger vi på ett elektriskt fält kommer elektronerna försöka röra sig inuti banden (så att k förändras). Är banden fulla finns ingenstans att röra sig (Pauliprincipen igen) och ledningsförmågan blir noll - vi har en isolator. För att erhålla ledning i ett sådant material måste man lägga på ett fält som ger så hög energi till elektronerna att de kan hoppa till nästa tomma band - då får man överslag i isolatorn. Man ser att denna situation med enbart fyllda band endast kan uppträda när antalet elektroner per cell är jämnt. Således kan endast grundämnen med jämnt antal valenselektroner, eller ett jämnt antal atomer per cell, vara isolatorer.
Man har här nu ett svar på vad som bestämmer antalet ledningselektroner i en metall: antalet elektroner som ligger i halvfyllda band. Således kommer de flesta 'normala' metaller att ha en ledningselektroner per atom. Man bör därför egentligen skilja på ledningselektron och valenselektron. Exempelvis har aluminium tre valenselektroner men endast en ledningelektron (egentligen ett ledningshål - se nedan).
Energiband
Antag nu att ett antal band är halvulla. Energin för den största energin där elektrontillståndet är fyllt ger då fermienergin och varje halvfullt band kommer att definiera en yta i reciproka rummet som separerar fyllda från ofyllda tillstånd. Mängden av dessa ytor kallas Fermiytan. Ett material kan sägas vara en metall om och endast om en Fermiyta existerar. Fermiytan i fria elektronmodellen är en sfär, för alkalimetaller har vi något deformerade sfärer medan vi för ex. Au har en väldigt deformerad sfär.
Exempel på fermiytor
Animation av Fermiytan för Au
För metaller med flera valenselektroner som Al, Mg eller Be så kommer flera band att vara halvfyllda och man får en uppsättninga av ytor enligt nedan. Fermiytornas betydelse blir tydlig av diskussionen ovan där vi sa att endast elektronerna med energi ~ E_F bidrar till elektronegenskaperna för metaller. Således bestämmer fermiytans form de flesta metallegenskaper. Exempelvis rör sig elektroner i ett magnetfält på slutna kurvor som är vinkelräta mot Fermiytan (detta ger faktiskt ett sätt att mäta Fermiytans struktur).
Vi nämnde tidigare att man ofta använder konceptet med effektiv massa. Eftersom elektroner i ett band kan svara på yttre krafter på ett lite märkligt sätt så definierar man en effektiv massa
m' = hbar^2/(d^2 E/ dk^2)
vilket gör att att kraftekvationen blir den gamla hederliga Newtons andra lag a = F/m. Notera nu att m' mycket väl kan vara negativ vilket gör att elektroner med negativ elektronmassa svarar på ett elektriskt fält som att de vore positivt laddade. Vi har då positiva laddningsbärare som ofta kallas hål (se nedan).
Vi såg tidigare att Hall-koefficienten kan vara negativ vilket skulle tyda på att man kan ha positiva laddningsbärare. Hur kan detta inträffa? Hos ex Aluminium är Fermiytan i första och tredje Brillouinzonen elektronlik medan ytan i andra zonen är hål-lik. Det fyllda första bandet med två elektroner kommer inte att ge något bidrag till strömmen (eftersom det inte finns några lediga tillstånd) och det tredje bandet är nästan tomt så allt vi har kvar är ett hål i andra bandet. Man får då både rätt storlek och tecken på Hall-koefficienten för aluminium.
Vidare kan man visa att man kan beskriva fysiken för ett elektronband utifrån endera de fyllda eller de ofyllda tillstånden. De ofyllda tillstånden beteer sig också som elektroner med positiv laddning, hål. I halvledarfysik är detta ett mycket vanlig koncept där man dopar material med elektroner eller hål genom att införa orenheter i materialet som endera donerar en valenselektron (elektron) eller accepterar en valenslektron (hål). I ett rent material skulle elektronerna och hålen alltid att vara lika många.
Det var några grundläggande fakta om elektroner i metaller. Vi har då ändå inte gått in på några som helst detaljer och här ännu inte inkluderat några effekter av elektronernas ömsesidiga växelverkan, av tau:s beroende av elektrondistributionen och av att gittret (jonerna) inte är statiskt.
Egentligen är ju elektronerna inte fria utan de påverkas av den elektrostatiska potentialen från alla jonerna. Eftersom jonerna är arrangerade (i en kristall) i ett periodiskt 3D mönster så får man således en periodisk potential som elektronerna rör sig i. Man kan nu visa att lösningarna till Schrödingerekvationen i ett sådant fall ges av produkten mellan en plan våg (~exp(i*k*r)) och en funktion som har samma periodicitet som potentialen (Blochs sats). En av de kvanttal som beskriver lösningarna till Schrödingerekvationen är den s.k. vågvektorn k. Det parameterrrum som spänns upp av vågvektorerna k_x, k_y och k_z kallas det reciproka rummet. Det periodiska mönstret av joner, gittret, motsvaras av ett gitter i det reciproka rummet, det reciproka gittret. Man kan nu visa att lösningarna inte bara är periodiska i direkta rummet utan även i reciproka rummet. Energin som funktion av k är således periodisk i tre särskilda vektorer k1, k2 och k3. Periodiciteten i det reciproka rummet avgörs av den minsta cell som kan användas som byggsten för det reciproka rummets gitter - den första Brillouinzonen. Enligt ett särskilt schema kan vi konstreura första, andra, tredje, .. Brillouinzonen. Detta är ett viktigt koncept eftersom när man tittar på energin som en funktion vågvektorn k så kommer energin att göra ett hopp vid varje Brillouinzongräns. Således försöker elektronerna att besätta k-punkter så att minimalt antal gränser passeras eftersom det kostar energi.
Bloch-funktioner
Brillouinzoner
Det andra kvanttalet som beskriver lösningarna är det s.k. bandindexet n. Lösningarna till Schrödingerekvationen för elektroner i en potential ges av den s.k. bandstrukturen
E(n,k)
där k är en vektor och n är ett heltal. Det är en funktion i k med flera grenar. Varje band (= varje gren = varje n) kan hålla 2*N elektroner där N är antalet celler i materialet. I ett material med 4 elektroner per cell så kommer således två band att vara helt fyllda. I fri elektronmodellen är
E(k) = hbar^2*k^2/(2*m) (hbar är Plancks konstant / 2*pi)
medan den i den mer kompletta teorin kan ha ett mer komplext utseende.
Bandstruktur
Tittar man på utseendet av E(n,k) nära första Brillouinzongränser finner man att det finns två lösningar som motsvarar lösningar med olika symmetri hos vågfunktionen. Detta ger upphov till ett energigap så att de olika banden är separerade med en viss energi. Lägger vi på ett elektriskt fält kommer elektronerna försöka röra sig inuti banden (så att k förändras). Är banden fulla finns ingenstans att röra sig (Pauliprincipen igen) och ledningsförmågan blir noll - vi har en isolator. För att erhålla ledning i ett sådant material måste man lägga på ett fält som ger så hög energi till elektronerna att de kan hoppa till nästa tomma band - då får man överslag i isolatorn. Man ser att denna situation med enbart fyllda band endast kan uppträda när antalet elektroner per cell är jämnt. Således kan endast grundämnen med jämnt antal valenselektroner, eller ett jämnt antal atomer per cell, vara isolatorer.
Man har här nu ett svar på vad som bestämmer antalet ledningselektroner i en metall: antalet elektroner som ligger i halvfyllda band. Således kommer de flesta 'normala' metaller att ha en ledningselektroner per atom. Man bör därför egentligen skilja på ledningselektron och valenselektron. Exempelvis har aluminium tre valenselektroner men endast en ledningelektron (egentligen ett ledningshål - se nedan).
Energiband
Antag nu att ett antal band är halvulla. Energin för den största energin där elektrontillståndet är fyllt ger då fermienergin och varje halvfullt band kommer att definiera en yta i reciproka rummet som separerar fyllda från ofyllda tillstånd. Mängden av dessa ytor kallas Fermiytan. Ett material kan sägas vara en metall om och endast om en Fermiyta existerar. Fermiytan i fria elektronmodellen är en sfär, för alkalimetaller har vi något deformerade sfärer medan vi för ex. Au har en väldigt deformerad sfär.
Exempel på fermiytor
Animation av Fermiytan för Au
För metaller med flera valenselektroner som Al, Mg eller Be så kommer flera band att vara halvfyllda och man får en uppsättninga av ytor enligt nedan. Fermiytornas betydelse blir tydlig av diskussionen ovan där vi sa att endast elektronerna med energi ~ E_F bidrar till elektronegenskaperna för metaller. Således bestämmer fermiytans form de flesta metallegenskaper. Exempelvis rör sig elektroner i ett magnetfält på slutna kurvor som är vinkelräta mot Fermiytan (detta ger faktiskt ett sätt att mäta Fermiytans struktur).
Vi nämnde tidigare att man ofta använder konceptet med effektiv massa. Eftersom elektroner i ett band kan svara på yttre krafter på ett lite märkligt sätt så definierar man en effektiv massa
m' = hbar^2/(d^2 E/ dk^2)
vilket gör att att kraftekvationen blir den gamla hederliga Newtons andra lag a = F/m. Notera nu att m' mycket väl kan vara negativ vilket gör att elektroner med negativ elektronmassa svarar på ett elektriskt fält som att de vore positivt laddade. Vi har då positiva laddningsbärare som ofta kallas hål (se nedan).
Vi såg tidigare att Hall-koefficienten kan vara negativ vilket skulle tyda på att man kan ha positiva laddningsbärare. Hur kan detta inträffa? Hos ex Aluminium är Fermiytan i första och tredje Brillouinzonen elektronlik medan ytan i andra zonen är hål-lik. Det fyllda första bandet med två elektroner kommer inte att ge något bidrag till strömmen (eftersom det inte finns några lediga tillstånd) och det tredje bandet är nästan tomt så allt vi har kvar är ett hål i andra bandet. Man får då både rätt storlek och tecken på Hall-koefficienten för aluminium.
Vidare kan man visa att man kan beskriva fysiken för ett elektronband utifrån endera de fyllda eller de ofyllda tillstånden. De ofyllda tillstånden beteer sig också som elektroner med positiv laddning, hål. I halvledarfysik är detta ett mycket vanlig koncept där man dopar material med elektroner eller hål genom att införa orenheter i materialet som endera donerar en valenselektron (elektron) eller accepterar en valenslektron (hål). I ett rent material skulle elektronerna och hålen alltid att vara lika många.
Det var några grundläggande fakta om elektroner i metaller. Vi har då ändå inte gått in på några som helst detaljer och här ännu inte inkluderat några effekter av elektronernas ömsesidiga växelverkan, av tau:s beroende av elektrondistributionen och av att gittret (jonerna) inte är statiskt.
