Hur nära varandra kan två tal vara?

Hur litet är det minsta steget som går att göra mellan två så nära inpå varandra som möjligt valda rationella tal respektive transcendenta tal?

Om vi inför en regel som innebär att de två talen vi är tvungna att välja mellan måste vara beräkningsbara tal, hur nära kan vi komma då med rationella tal respektive transcendenta tal?

Rationella tal, transcendenta tal och beräkningsbara tal är alla "täta" i de reella talen. Man kan alltså komma godtyckligt nära ( = skillnaden kan fås att bli mindre än varje fixt positivt tal).

Alla rationella tal är för övrigt beräkningsbara.

Oändligt nära.

Om det finns så många fler transcendenta tal, innebär det då inte också att de är tätare än de rationella talen?

En snabb sidofråga, är det sånt här man studerar inom elementär talteori?

Att det rör sig om oändliga tal visst, men stämmer verkligen definitionen att man kan komma "oändligt nära"? Låter logiskt fel.

Oändligt nära innebär att det inte finns någon gräns för hur nära två tal kan vara varandra.

Dvs för varje tal A som är mindre än tal B, så existerar ett oändligt antal tal som är större än A men mindre än B.

Cirka en halv Plancklängd.

Nej, den här typen av frågor kan dyka upp i elementär analys. Talteori är ngt annat och du kan titta i
Kenneth Ireland
Michael Rosen
A Classical Introduction to
Modern Number Theory , för att se vad talteori handlar om.

Begreppet täthet som jag använde det här är binärt: en mängd är tät i en annan eller så är den inte det. (Det här är alltså mitt försök att översätta "dense" till svenska: a set is dense in another set osv...)

Om man vill ha ett mer raffinerat begrepp kan man använda måtteori, till exempel lebesguemått (uppkallat efter fransmannen Lebesgue). Då finner man att de rationella talen i intervallet [0, 1] har mått 0, medan de transcendenta har mått 1.

Det här övertygar inte. Att det rör sig om tal som går mot oändligheten ser jag, men inte att dom kan vara "oändligt nära" varandra, vilket är en helt annan sak.

Menar du att det finns en gräns för hur nära varandra tal kan vara? Att mitt påstående att för varje A < B så existerar ett C där A < C < B skulle vara felaktigt?