Går det att vika ett papper längre än diagonalen?

Om vi börjar med en vanlig bit papper som kan vara vilket som helst egentligen, men för enkelhetens skull en kvadrat i det här fallet.

Kvadratens sidor är 1 och platt samt orörd i dess ursprungliga utförande är den längsta linjen mellan de två mest avlägsna punkterna √2.

Går det att bevisa att pappret inte går att vika, böja och/eller rulla (utan att ha sönder det) på så sätt att det uppstår två punkter som är längre ifrån varandra än så?

Går det inte att motbevisa det genom att rulla pappret diagonalt?

Euklidisk geometri (vilket jag förutsätter gäller här) bygger som bekant på axiom. Så inom ramen för den geometrin följer det av axiomen, vilka det finns lite olika men ekvivalenta definitioner av.

Relaterad och mer generell fråga som om den besvaras även besvarar den här frågan.

Om du väljer ut två punkter på ett helt plant tvådimensionellt objekt, går det då att få dem längre ifrån varandra med nämnda metoder?

Jag tror inte det.

Antag att du istället för en kvadrat har ett papper format som ett 'L'. Då kan man dra spetsarna längre från varandra utan att slita itu pappret. Om jag får gissa skulle jag säga att det är omöjligt för ett konvext papper, men i alla fall ibland möjligt för konkava former.

Det här följer av Pythagoras sats. Hypotenusan kommer att vara längst då de båda sidorna är som längst, vilket händer i motsatt hörn av rektangeln. Om du "genar" genom att göra en sida kortare, och den andra sidan oförändrad, så kommer hypotenusan också att bli kortare.

Om pappret görs till ett möbiusband går det väl att hitta två punkter längre ifrån varandra än den ursprungliga hypotenusan?

Ja, men då är du inte i en euklidisk geometri längre.

Vad utgör begränsningarna i annan geometri än euklidisk i det här fallet då?

Det beror ju på vilken typ av geometri det är. Ett vanligt exempel är geometrin på ytan av en sfär, där till exempel parallella linjer kan skära varandra (att de inte gör det är ett av axiomen i euklidisk geometri). Trianglar blir också konstiga, som den här gamla gåtan om isbjörnen påvisar. Vad som gäller just för Möbiusband kan jag inte på rak arm, men det finns liknande skillnader där.