Linjär algebra - kortaste avståndet mellan linjer

Hej, jag har problem med en uppgift i linjär algebra och jag undrar om någon skulle kunna hjälpa mig med den.

Linjär algebra

5.20 Bestäm det kortaste avståndet mellan linjerna
x + y = y + z = (x + z)/2 och (x,y,z) = (1,1,1) -t(6,3,2).

Nu min fråga: ska jag utgå ifrån att

x + y = y + z = (x + z)/2 (=t) implicerar ekvationssystemet (t parameternamn)

x + y = t
y + z = t
(x + z)/2 = t

?
Mitt mål borde ju i någon mening vara att skriva den första linjens ekvation på parameterform? Jag undrar dock om jag gjort rätt (enl. ovan)?

Förslag till möjlig väg att gå. Parametrisera den fösta linjen med tex s.


Sedan kan man ta fram ett uttryck för avstånd på "vanligt" sätt, vet ej om det finns ett smartare linalg sätt.

Efter det borde det gå att leta minima som vanligt med derivator etc.

Funkar säkert, men troligen inte eftersökt metod. Det finns annan metod där man tar produkten av linjernas riktningsvektorer eller något... Jag är säker på att Nails snart kommer med ett propert förslag på "rätt" metod. Även min lin.alg. är sönderrostad...

Hej, tack för att du tagit dig tid att skriva. Jag fick samma parametrisering som du enligt:

https://gyazo.com/54c12f6e6b66d47f0b19ffaadb2477a5

I boken vi använder står det inget om derivata, utan i kapitlet avhandlas ett exempel där man utnyttjar projektion för att lösa en liknande uppgift. Därför tror jag att man ska härma just det exemplet. Jag bifogar här bilden på uppgiften:

https://gyazo.com/57cabe3d610f2f0e631ba9b40995b56d

Hitta normalen till någon av linjernas riktningsvektorer och hitta skärningspunkten med den andra linjen?
Det vinkelräta avståndet är ju det kortaste. Normalen hittar man väl lätt med kryssprodukt om jag minns rätt.

Jag vet inte om detta är rätt metod, var ett tag sen jag hustlade lin.a.

Litet sent kanske, hade hoppats att någon av proffsen skulle droppa in och lösa det här. Men om du fortfarande undrar så finns det ett löst exempel på exakt den här typen av problem i följande länk:

http://eng.usc.ac.ir/files/1508848447251.pdf

Problemet finns längst ned på sidan 591.

Här är en länk till som kanske har tydligare text: http://www2.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/69.pdf

Edit: Jag körde fast på frågan: kan man verkligen använda projektion när linjerna inte möts. Men om man drar ut linjerna till de korsas i länken ovan och sedan kollar in topptriangelsatsen : http://www.matteguiden.se/matte-b/geometri/likformighet/
så inser man att det funkar ju!

Bestäm alltså det kortaste avståndet mellan linjerna

L1: (x,y,z) = (0,0,0) + s u
L2: (x,y,z) = (1,1,1) - t v

där u = (1,0,1) och v = (6,3,2). Notera att L1 går genom origo!

Knycker idén från kursboken:

Låt Π vara det plan genom L2 som är parallellt med L1. En normalvektor till Π är ortogonal mot både L1 och L2, vilket innebär att vektorn n = u × v = (1,0,1) × (6,3,2) = (-3,4,3) är ortogonal mot planet Π.

Spånar vidare ...
Punkten (1,1,1) ligger på L2 och därmed i planet, så

Π: -3x + 4y + 3z = -3 + 4 + 3 = 4.

Bestäm nu den punkt Q där den mot Π ortogonala linjen (x,y,z) = t n = t (-3,4,3) skär planet.
Insättning av (x,y,z) = (-3t,4t,3t) i ekvationen för planet ger

-3*(-3t) + 4*4t + 3*3t = 4, … dvs t = 4/34 och Q = 4(-3,4,3)/34.

Det sökta avståndet ges av d = |OQ|, så

d² = |OQ|² = (4/34)²((-3)² + 4² + 3²) = 16/34 = 8/17

Svar: d = √(8/17) (med reservation för eventuella beräkningsfel).

Du brukar aldrig ha fel, men jag räknade igenom det mha en webb-sida (eftersom jag inte hittar min lin.alg.bok och är synnerligen rostig) och fick avståndet till 4/3. Det hade underlättat om problemställaren hade givit svaret tillsammans med uppgiften så vi med gamla korroderade hjärnor får en indikation om vi är på rätt väg...

Det händer gång på gång att jag räknar fel – sånt är livet!

Jag letade och hittade uppgiften i pdf:en (Adams Calculus, 7th ed) som Igni-ferroque hänvisade till. Klipp: https://postimg.cc/image/t318moefp/

Vi projicerar alltså vektorn P1P2 (se figur) på normalen till L1 och L2:
n = v1 x v2 = u x v = (-3,4,3), så

d = P1P2 • n / |n|, där P1 ligger på L1 och P2 på L2,

Med P1 = (0,0,0) = origo och P2 = (1,1,1) får jag samma resultat som ovan:

d = OP2 • n / |n| = (1,1,1) • (-3,4,3) / √34 = 4/√34 = √(8/17).

Har jag räknat fel på vektorprodukten u x v?

Ev. är det jag som är seg (i natten) och kan ha tolkat denna sida fel:
https://www.quora.com/How-do-I-find-the-shortest-distance-between-two-skew-lines

Eftersom jag är lat(!) använde jag Mathematica för räkningarna;


och Mathematica spottar ut 4/3.

Jag testade även hans "slutkläm",

Shortest distance =| (a - c) . (b x d) / |b x d| |

i Mathematica:


vilket gav 4/3.

Din x-produkt är rätt, även jag får den till (-3, 4, 3).

30(?)-grader här nu... måste svalka mig lite, men det är intressant varför vi inte får lika. Måste undersökas vidare!

Räknade litet på det här, fick samma svar som Nail. Math-Nerd jag kan inte Mathematica, men vad händer om man byter a-c till c-a?

I praktiken inget då avståndet beräknas med | | (absolutbelopp) Abs[].

Troligen tolkar jag den engelska sidan fel. Jag får kolla igen. Jag gillar dock inte exempel där punkterna är valda på sådant sätt att det eliminerar steg/problematik. Valet av origo är inte optimal. Bättre man löser det allmänna fallet - vi får se samma frågeställning om 2 månader, med andra värden...

TS får gärna posta svaret från boken - eller var detta en inlämningsuppgift utan svar som lösts till någon?

Igni-ferroque, jag skall se om jag finner några andra liknande - lösta exempel - på nätet så kan vi köra dessa istället, för att verifiera vad som går fel. Jag finner många av forumets frågor intressanta, inte för att dra upp min dinosaurie-gamla kunskap i lin-alg. utan mera för att lära mig hur Mathematica kan användas på ett smart sätt. Många av uppgifterna här har varit utmärkta exempel för min "forskning" inom Mathematica-syntax och metodik. Keep 'em coming!