2006-01-17, 10:23
#3
Du kan se det som ett 3D-landskap. x och y är utsträckningen i längd och bredd och anger koordinaten för en viss punkt. z är höjden. Så funktionen anger hur man räknar ut vilken höjd landskapet har (z) i för varje punkt (x,y).
Sen när man ska rita upp specifika f(x,y) kan man tex börja med ändpunkter och kantpunkter så att man vet ung mellan vilka värden på x och y som den är intressant. Tex utefter y-axeln så blir det ju lätt att räkna ut f(0,y) osv.
Ibland kan man se på funktionen att den är tex konstant utefter vissa 2-d linjer eller former i x,y planet och man kan lätt rita typ höjdringar. Dvs tänka omvänt, för vilka (x,y) är z = 3? finns det några enkla samband?
Sen lär man sig av övning
Sen när man ska rita upp specifika f(x,y) kan man tex börja med ändpunkter och kantpunkter så att man vet ung mellan vilka värden på x och y som den är intressant. Tex utefter y-axeln så blir det ju lätt att räkna ut f(0,y) osv.
Ibland kan man se på funktionen att den är tex konstant utefter vissa 2-d linjer eller former i x,y planet och man kan lätt rita typ höjdringar. Dvs tänka omvänt, för vilka (x,y) är z = 3? finns det några enkla samband?
Sen lär man sig av övning
2006-01-17, 11:40
#4
Några egna knep
Jag har åtskilliga gånger stött på precis samma problem, och började fundera på hur man kan lösa det. Om vi antar envariabelanalys känd, så kan man alltid börja med att reducera problemet till ett envariabelfall. Det är ingen fullständig metod, bara en början, men kan ge en god hjälp om hur funktionen ser ut.
Några exempel.
Vi vill veta hur ytorna (=graferna av funktionerna) f(x,y)=x^2+y^2 resp g(x,y)=x^2-y^2 ser ut. Att rita graferna av funktionerna innebär att i ett koordinatsystem (xyz-system) rita funktionerna
z = f(x,y) resp z = g(x,y).
Börja med att sätta ena variabeln till noll, t.ex. y=0. Detta är geometriskt sett samma sak som att skära ytan ifråga med planet y=0, dvs med xz-planet. Här fås z=f(x,0)=x^2 resp z=g(x,0)=x^2. Den envariabelfunktionen känner vi, det är enkelt att rita upp parabeln i ett tvådimensionellt koordinatsystem (koordinater x och z). För att vara systematisk kan man göra teckenstudium på den vilket jag inte gör här. Kan ju tyckas onödigt, men det är en ovärderlig hjälp när man har komplicerade funktioner.
(Kommer nu att koncentera mig enbart på z=f(x,y); funktionen g(x,y) får vänta till nästa inlägg)
Sätt nu istället andra variabeln till noll, dvs undersök z=f(0,y). Detta är skärningen av ytan z=f(x,y) med planet x=0 (yz-planet). Då fås z=f(0,y)=y^2 , vilket är samma parabel men nu i yz-systemet.
Alltså: skärningen med yz-planet ger parabeln z=x^2 , skärningen med xz-planet ger samma parabel z=y^2. Då z=y^2 ligger i yz-systemet innebär det att denna parabel ligger i ett plan vridet 90 grader relativt xz-planet.
Vi kan även leta andra skärningar, och rentav symmetrier. Exempelvis luktar x^2+y^2 cirkel lång väg.
Skär ytan z=f(x,y) med planet z=0 (dvs xy-planet). Analytiskt, sätt in z=0. Det blir ju inte mycket av det, 0=x^2+y^2 ger ju bara att x=y=0, dvs en enda punkt (origo). Gör nu samma sak med xy-planet ”höjt en bit upp” i z-led.
Välj z=a, a reell konstant >0, och sätt in. Då fås a=f(x,y)=x^2+y^2 vilket är ekvationen för en cirkel med radie = roten ur a.
Alltså: ytans z=f(x,y) skärning med ett plan parallellt med xy-planet (men en bit upp) är en cirkel. Och cirkelns radie är roten ur planets höjd över xy-planet. Så därav kan vi dra slutsatsen att ytan är rotationssymmetrisk runt z-axeln.
Så lokala extrempunkter.
Parabeln z=x^2 har lokalt minimum i x=0, och analogt med parabeln z=y^2. Pga rotationssymmetrin kring z-axeln kan ytan genereras genom att rotera parabeln z=x^2 runt z-axeln. Den har en enda lokal extrempunkt, lokalt minimum i origo.
Och därmed vet vi hur den ser ut: som en uppochner-vänd äggtopp.
Alltså
Den här tekniken är en lite grovhuggen "cut and study"-metod: vi skär ytan med så enkla plan som möjligt, och undersöker snittkurvorna. Man kan även undersöka enkla (och uppenbara) symmetrier hos snitten. Därigenom fås en uppfattning om funktionens utseende.
(Denna skärningsmetod är f.ö. en av de fulaste metoderna man kan tillgripa inom ytors differentialgeometri. Detta då det ger information om kurvorna, men ingen djupare förståelse för ytans uppförande.
Men det är en helt annan historia...)
Just detta exempel är ju enkelt, men förrädiska exempel kommer strax...
Soon, there will be something much worse to come…
Några exempel.
Vi vill veta hur ytorna (=graferna av funktionerna) f(x,y)=x^2+y^2 resp g(x,y)=x^2-y^2 ser ut. Att rita graferna av funktionerna innebär att i ett koordinatsystem (xyz-system) rita funktionerna
z = f(x,y) resp z = g(x,y).
Börja med att sätta ena variabeln till noll, t.ex. y=0. Detta är geometriskt sett samma sak som att skära ytan ifråga med planet y=0, dvs med xz-planet. Här fås z=f(x,0)=x^2 resp z=g(x,0)=x^2. Den envariabelfunktionen känner vi, det är enkelt att rita upp parabeln i ett tvådimensionellt koordinatsystem (koordinater x och z). För att vara systematisk kan man göra teckenstudium på den vilket jag inte gör här. Kan ju tyckas onödigt, men det är en ovärderlig hjälp när man har komplicerade funktioner.
(Kommer nu att koncentera mig enbart på z=f(x,y); funktionen g(x,y) får vänta till nästa inlägg)
Sätt nu istället andra variabeln till noll, dvs undersök z=f(0,y). Detta är skärningen av ytan z=f(x,y) med planet x=0 (yz-planet). Då fås z=f(0,y)=y^2 , vilket är samma parabel men nu i yz-systemet.
Alltså: skärningen med yz-planet ger parabeln z=x^2 , skärningen med xz-planet ger samma parabel z=y^2. Då z=y^2 ligger i yz-systemet innebär det att denna parabel ligger i ett plan vridet 90 grader relativt xz-planet.
Vi kan även leta andra skärningar, och rentav symmetrier. Exempelvis luktar x^2+y^2 cirkel lång väg.
Skär ytan z=f(x,y) med planet z=0 (dvs xy-planet). Analytiskt, sätt in z=0. Det blir ju inte mycket av det, 0=x^2+y^2 ger ju bara att x=y=0, dvs en enda punkt (origo). Gör nu samma sak med xy-planet ”höjt en bit upp” i z-led.
Välj z=a, a reell konstant >0, och sätt in. Då fås a=f(x,y)=x^2+y^2 vilket är ekvationen för en cirkel med radie = roten ur a.
Alltså: ytans z=f(x,y) skärning med ett plan parallellt med xy-planet (men en bit upp) är en cirkel. Och cirkelns radie är roten ur planets höjd över xy-planet. Så därav kan vi dra slutsatsen att ytan är rotationssymmetrisk runt z-axeln.
Så lokala extrempunkter.
Parabeln z=x^2 har lokalt minimum i x=0, och analogt med parabeln z=y^2. Pga rotationssymmetrin kring z-axeln kan ytan genereras genom att rotera parabeln z=x^2 runt z-axeln. Den har en enda lokal extrempunkt, lokalt minimum i origo.
Och därmed vet vi hur den ser ut: som en uppochner-vänd äggtopp.
Alltså
Den här tekniken är en lite grovhuggen "cut and study"-metod: vi skär ytan med så enkla plan som möjligt, och undersöker snittkurvorna. Man kan även undersöka enkla (och uppenbara) symmetrier hos snitten. Därigenom fås en uppfattning om funktionens utseende.
(Denna skärningsmetod är f.ö. en av de fulaste metoderna man kan tillgripa inom ytors differentialgeometri. Detta då det ger information om kurvorna, men ingen djupare förståelse för ytans uppförande.
Men det är en helt annan historia...)Just detta exempel är ju enkelt, men förrädiska exempel kommer strax...
Soon, there will be something much worse to come…
2006-01-17, 14:08
#9
Citat:
Ursprungligen postat av West-en
Ingen ahr som har en HP?
Jo, men den används bara när jag har polacker på besök.
[You either get it or you don't...]
2006-01-17, 16:39
#10
Citat:
Ursprungligen postat av evolute
Jag har 85, 89 och 92 och det funkar på alla.
Annars är ju matlab/maple riktigt trevligt att ha. Nedan är en video som jag gjorde från en 3D-animation i matlab. Det är ytan av konstant energi för ledningselektroner i guld (även kallad fermiytan). Jag har inte optimerat så videon är inte jättesnygg...
http://www.zippyvideos.com/3980600923254356/aufermi/
Annars är ju matlab/maple riktigt trevligt att ha. Nedan är en video som jag gjorde från en 3D-animation i matlab. Det är ytan av konstant energi för ledningselektroner i guld (även kallad fermiytan). Jag har inte optimerat så videon är inte jättesnygg...
http://www.zippyvideos.com/3980600923254356/aufermi/
Kan man få en lite kort beskrivning till hur man plottar 3d grafer i Tiräknarna?
2006-01-17, 16:46
#11
Citat:
Ursprungligen postat av wooten
Kan man få en lite kort beskrivning till hur man plottar 3d grafer i Tiräknarna?
Nu har jag ingen miniräknare på jobbet, men om jag inte minns fel så byter man bara till 3D-mode ("Mode"-knappen ?) och sedan går man in där man definierar funktioner ("y="-knappen ?) och man skriver då sin funktion med x och y som variabler. I "window" kan man sedan bestämma hur man vill se grafen. Har för mig att du kan rotera, zooma in/ut på massor av sätt också.
2006-01-17, 19:05
#12
Knepigare exempel
Funktionen z=f(x,y)=arctan(y/x) används ibland för att beskriva vinkeln för en stråle från origo till punkten (x,y), relativt positiva x-axeln.
Men här gäller det att se upp!
Som den latmask man är, letade jag i gamla inlägg. Se http://www.flashback.org/showthread.php?t=251327. (Citerar till stor del)
På strålar ut från origo, dvs längs räta linjer y=kx, är f konstant. Men f är inte definierad längs y-axeln, dvs för x=0 !!!
Det gäller att f har en språngdiskontinuitet längs y-axeln (dvs för x=0 <=> f(0,y) ). När man går från en punkt precis till höger om y-axeln (vi antar att y>0), passerar y-axeln, och stannar precis till vänster om y-axeln, så är det ett språng neråt. Hur stort då? Ja, låt x gå mot noll från en punkt precis till höger om y-axeln (y>0), då går y/x mot oändligheten, och arctan y/x mot pi/2. Analogt, låt x gå mot noll från en punkt precis till vänster om y-axeln (y>0), då går y/x mot minus oändligheten, och arctan y/x mot -pi/2. Så språnget när man passerar positiva y-axeln från höger till vänster blir pi/2 -(-pi/2) = pi.
Motsvarande gäller i under halvplanet (y<0) men med omkastat tecken, dvs språnget i samma riktning är -pi.
Detta beror på att funktionen arctan t är definierat för alla reella t, med värdemängd ]-pi/2,pi/2[. Om man låter t->-oo så går arctan t mot -pi/2, analogt t->+oo så går arctan t mot +pi/2. Och det fallet har vi när man knallar över y-axeln. Då skiftar x-värdet tecken (fixt y skilt från noll) och funktionen tar ett plötsligt språng. Språngets tecken beror på i vilken riktning vi passerar y-axeln.
f(x,y) är inte definierad för f(0,y). Än värre i origo; y/x är inte ens definierat där, och följaktligen inte heller f(0,0). Längs hela y-axeln har f alltså en språngdiskontinuitet (ett snitt), och i origo existerar inget värde alls.
Ska man nu använda funktionen att mäta vinkeln v för vektorn (x,y) relativt positiv x-axel, så måste man definiera vinkeln v=v(x,y) på lämpligt sätt mha additiva konstanter.
Till exempel:
v = v(x,y) = arctan(y/x) för x>0, samt för alla y>=0 (högra övre halvplanet inkluderat positiva x-axeln)
v = arctan(y/x)+pi för x<0, samt för alla y (dvs i vänstra halvplanet)
v = arctan(y/x)+2pi för x>0, samt för alla y<0 (dvs i högra undre halvplanet, men inte med positiva x-axeln en gång till)
För att göra den kontinuerlig i skarvarna längs y-axeln:
v = pi/2 för x=0, y>0 (dvs längs positiva y-axeln)
v = 3*pi/2 för x=0, y<0 (dvs längs negativa y-axeln)
Och det minst dåliga vi kan göra i origo är att definiera v(0,0) = 0.
Men här gäller det att se upp!
Som den latmask man är, letade jag i gamla inlägg. Se http://www.flashback.org/showthread.php?t=251327. (Citerar till stor del)
På strålar ut från origo, dvs längs räta linjer y=kx, är f konstant. Men f är inte definierad längs y-axeln, dvs för x=0 !!!
Det gäller att f har en språngdiskontinuitet längs y-axeln (dvs för x=0 <=> f(0,y) ). När man går från en punkt precis till höger om y-axeln (vi antar att y>0), passerar y-axeln, och stannar precis till vänster om y-axeln, så är det ett språng neråt. Hur stort då? Ja, låt x gå mot noll från en punkt precis till höger om y-axeln (y>0), då går y/x mot oändligheten, och arctan y/x mot pi/2. Analogt, låt x gå mot noll från en punkt precis till vänster om y-axeln (y>0), då går y/x mot minus oändligheten, och arctan y/x mot -pi/2. Så språnget när man passerar positiva y-axeln från höger till vänster blir pi/2 -(-pi/2) = pi.
Motsvarande gäller i under halvplanet (y<0) men med omkastat tecken, dvs språnget i samma riktning är -pi.
Detta beror på att funktionen arctan t är definierat för alla reella t, med värdemängd ]-pi/2,pi/2[. Om man låter t->-oo så går arctan t mot -pi/2, analogt t->+oo så går arctan t mot +pi/2. Och det fallet har vi när man knallar över y-axeln. Då skiftar x-värdet tecken (fixt y skilt från noll) och funktionen tar ett plötsligt språng. Språngets tecken beror på i vilken riktning vi passerar y-axeln.
f(x,y) är inte definierad för f(0,y). Än värre i origo; y/x är inte ens definierat där, och följaktligen inte heller f(0,0). Längs hela y-axeln har f alltså en språngdiskontinuitet (ett snitt), och i origo existerar inget värde alls.
Ska man nu använda funktionen att mäta vinkeln v för vektorn (x,y) relativt positiv x-axel, så måste man definiera vinkeln v=v(x,y) på lämpligt sätt mha additiva konstanter.
Till exempel:
v = v(x,y) = arctan(y/x) för x>0, samt för alla y>=0 (högra övre halvplanet inkluderat positiva x-axeln)
v = arctan(y/x)+pi för x<0, samt för alla y (dvs i vänstra halvplanet)
v = arctan(y/x)+2pi för x>0, samt för alla y<0 (dvs i högra undre halvplanet, men inte med positiva x-axeln en gång till)
För att göra den kontinuerlig i skarvarna längs y-axeln:
v = pi/2 för x=0, y>0 (dvs längs positiva y-axeln)
v = 3*pi/2 för x=0, y<0 (dvs längs negativa y-axeln)
Och det minst dåliga vi kan göra i origo är att definiera v(0,0) = 0.
Skapa ett konto eller logga in för att kommentera
Du måste vara medlem för att kunna kommentera