Korkad mattefråga

Står det bara -3^2 så ser jag -3 som det negativa talet (-3) och inte som ett tal som skall subtraheras från något. Det negativa talet 3 blir 9 om man kvadrerar det. På min räknare fanns det två minus ett långt minus -- och ett kort - det korta satte jag framför negativa tal och behövde då inte fippla med paranteser. Min räknare var en Ti 83:a och på tangenten för det lilla minuset är en parantes utritad så att alla skall förstå...

Jockelo:

Kanske underlättar om du tolkar -3^2 som -(3^2), vilket ju är exakt samma sak, även om parentesen är onödig.

Självklart förstår jag det.

Mmm.. ungefär så tänkte jag också.

De är två "olika" minustecken. Det korta anger att ett tal är negativt, medan det långa anger att något ska subtraheras. Om du försöker skriva --3^2 så får du ERR: SYNTAX av din Ti-83:a (med -- menar jag det långa minustecknet).
Skriver du -3^2 får du -9, men skriver du (-3)^2 får du 9. Du måste alltså "fippla med paranteser" om du vill kvadrera ett negativt tal (såvida du inte har det lagrat i en variabel). Grafräknaren gör helt rätt, och det har ju redan konstaterats i tråden. :/

Och en del räknare tolkar 5 +5*2 som 15 och en del som 50. Du tycks ha hittat en liten bugg i programmet! Jag tror det hänger ihop med att man vill få 5 +5*2 att ge svaret 15. -(3^2) "minus tre i kvadrat" skulle bli -9. Men inte -3^2. Exel svarar 9 för -3^2. (-3^2)^(1/2) Har lösningen +3 men också lösningen -3 (Roten ur -3 i kvadrat) på samma sätt som roten ur 9 är både +3 och -3. Det syns inte heller på räknaren.

När jag satt igår lyckades jag finta mig själv så det blev fel. Men mina beräkningar ser rätt ut för mig. Skulle något matematikgeni kunna förklara detta för mig:

1) Ursprungstalet är kvadratroten ur -3 i kvadrat
2) Kvadratroten kan även skrivas som ^½
3) Ursprungstalet kan skrivas som: -3^2^½
4) Enligt exponentregler multiplicerar man då exponenterna, dvs. 2*½ = 1
5) Ursprungstalet blir då -3^1 = -3

Hur har jag lurat mig själv här? Är det nån exponentregel eller liknande som gör denna beräkning omöjlig?

Nu är vi faktiskt inne på farligt territorium. Kvadratroten som reell funktion betraktat är inte definierad för negativa argument. Istället måste du använda den komplexa varianten av kvadratrotsfunktionen som gäller för alla komplexa tal. Denna funktion visar sig vara flervärd, alltså för varje argument kan du få flera värden. Eftersom man ofta vill ha en envärd funktion så väljer man en gren av funktionen som är envärd.

Felet du gör i din beräkning är att du hoppar mellan olika grenar av den komplexa kvadratrotsfunktionen. Det är alltså inte tillåtet att göra uppdelningen sqrt((-3)^2) = sqrt(-3)*sqrt(-3).

I en annan tråd skrev jag:

För att krångla till det lite... Låt oss säga att vi inte vet huruvida x^(0.5) är
en flervärd funktion eller inte för komplexa x. Notera att sqrt(y) används
för den positiva reella roten ur det positiva reella talet y.

Antag x komplext och låt log vara den komplex logaritmfunktionen, ln den
reella naturliga logaritmfunktionen, arg(x) argumentet för x, och Arg(x)
principialargumentet för x. Vi har nu

x^(1/2) = exp(1/2*log(x)) = exp(1/2*(ln|x|+i*arg x))=exp(1/2*ln|x|)*exp(i/2*arg(x)) = sqrt(|x|)*exp(i/2*arg(x))

Argumentet kan skrivas arg x = Arg x + 2*n*pi, där pi>=Arg(x)>-p.

Om vi väljer principialgrenen så sätter man således arg(x)=Arg(x) och funktionen blir envärd. Man kan då skriva

(-3)^(1/2) = sqrt(3)*exp(i/2*pi) = i*sqrt(3) (Arg(x)=pi eftersom -3 ligger på vinkeln pi).

Då har vi

sqrt(-3)*sqrt(-3) = i*sqrt(3)*i*sqrt(3) = - 3 (i^2 = -1).

Å andra sidan har vi

((-3)^2)^(1/2) = sqrt(3^2)*exp(i/2*arg((-3)^2)) =
=sqrt(3)*sqrt(3)*exp(i/2*0)=sqrt(3)*exp(0)*sqrt(3)*exp(0) = sqrt(3)*sqrt(3). (Arg(9)=0)

Man ser alltså att det inte existerar en faktorisering som ger

sqrt((-3)^2)^(1/2) = (-3)^(1/2)*(-3)^(1/2).

Okej, tack så mycket för svaret. Är nog på lite för hög matematisk nivå än den jag själv besitter för tillfället. Men jag ska läsa igenom det mer nogrannat senare då mitt huvud är mer klart och försöka förstå, kanske även damma av någon gammal mattebok Är för övrigt väldigt imponerad över kunskapen vissa på det här forumet besitter

Pappers Tigern: Om du vill slippa dyka ner i evolutes i och för sig utmärkta förklaring kan du tänka såhär:
Akta dig jävligt noga för kvadratrötter där det som står innanför rottecknet skulle kunna bli ett negativt tal. Om det finns risk för det, så ge dig inte in på några smarta förkortningsregler av typ potenslagarna som skulle kunna dela upp ditt rottuttryck, det leder bara till teckenfel och annat elände. Detta gäller även om flera av talen är negativa och ska multipliceras ihop eller liknande. Alltså: Beräkna värdet av det som står innanför rotuttrycket och sen kan du dra kvadratroten ur det.
I detta fall är det enkelt (-3) upphöjt till två = 9. Kvadratroten ur 9 = 3.

En kommentar till de miniräknarproblem som nämnts tidigare i tråden.
Vissa enklare miniräknare räknar som om det var lika med tecken efter varje inslaget tal. Dvs. 5+5*3 tolkas som 5+5=10. 10*3=30. Mer avancerade räknare tolkar det istället som just 5+5*3=20 som är matematiskt korrekt tolkning av det ursprungliga uppställningen. De enkla räknarna räknar dock rätt, det enda man måste tänka på är att slå sakerna enligt de matematiska prioriteringsreglerna, dvs. 5*3=15. 15+5=20. Man måste alltså ha bättre koll på matematiken med billiga räknare!