Jaga någon inuti en ring

Jag såg nyss på klippet från Life Of Brian där en gladiator jagar en annan runt utkanten av ringen tills han får en hjärtattack. Förutsatt att de springer lika snabbt, vad skulle hänt om gladiatorn hela tiden sprang mot den andre istället? Kommer han oändligt nära men aldrig ikapp? Den jagades ultimata väg blir väl att springa i en så rät vinkel iväg från anfallaren, som i början bara är 90 grader om de startar på varsin sida, men senare blir bättre och närmar sig 180 grader?

Hur blir det annorlunda om de slåss begränsade av en regelbunden hörning med x antal sidor, t.ex. en kvadratisk boxningsring, istället för cirkelns oändliga antal sidor? Min magkänsla säger mig att den jagade då bara bör utnyttja en cirkel inskriven i x-hörningen, och att resten av ytan blir till "återvändsgränd".

Om de springer lika fort och befinner sig i en konvex inhägnad finns det alltid sätt för den som jagar att komma ifatt. Det är ganska lätt att inse. Springer den som jagar rakt emot den jagade kommer avståndet inte att öka, och detta är alltid möjligt att göra. Det optimala för den jagade är att aldrig ändra riktning, utan springa rakt från den som jagar. Så fort den jagade begränsas i sitt val av riktning kan den som jagar minska avståndet.



Om inhägnaden inte är konvex är kan det finnas fall där jakten kan pågå i en oändlighet. Tänk dig en ringformad inhägnad, dvs du har en cirkulär inhägnad i mitten. Då kan den som jagas springa runt denna och den jagade kan aldrig minska avståndet.

Ahh.. jag tänkte mig att jägaren också till slut begränsades av cirkeln, men han kommer ju aldrig träffa utkanten om han springer rakt mot bytet. Tack för svaret

Jag tror ni har kommit till fel slutsats. Det är klart att avståndet mellan jagad och jagade minskat hela tiden. Dessvärre tar det oändligt lång tid innan avståndet blir 0.

Utgå från att jagaren börjar i mitten av ringen. I början kan jagaren använda hela sin hastighet rakt mot ringens vägg, men ju närmare väggen jagaren kommer desto mer av hastigheten måste han kompensera med för att ligga i linje med den jagade.

Ta en titt på formeln t=-ln(cos(r)), där r är radien från ringens centrum. Vilket värde går t emot när r närmar sig pi/4? Jo, oändligheten. Det innebär att när jagaren slickar ringkanten behöver han använda sig av hela hastigheten för att hinna med den jagade, och oändligt lite hastighet för att knappa in.