Hur annorlunda är dubbelsidig Laplace-transform jämfört med enkelsidig transform?

Jag har hört talas om "dubbelsidiga" Laplace-transformer, som tydligen ska ha oändlighet som "gräns" åt båda hållen (negativ och positiv oändlighet).
Exakt hur pass annorlunda är såna transformer från vanliga enkelsidiga transformer?
Kan man göra så att man bara helt enkelt delar upp en dubbelsidig transform i två enkelsidiga transformer och byter tecken så att man får två enkelsidiga transformer med oändlighet som övre gräns, eller finns det några andra luriga skillnader också?

Kort sagt - kan man betrakta en dubbelsidig Laplace-transform som summan av två enkelsidiga transformer?
Och vad får en sån transform för konsekvenser i verkliga livet?

Det är större skillnad än så på dem. Den enkelsidiga är kausal, den börjar vid tiden t=0. Med andra ord så tar den inte hänsyn till vad som har hänt bakåt i tiden (eller framåt i tiden(?), jag kan inte påstå att jag har koll på det här än. Men alla verkliga, fysiska, system är i princip kausala tror jag, just för att systemet inte kan veta vad som kommer att hända innan det har hänt). Den enkelsidiga och dubbelsidiga är desamma däremot för signaler som är 0 innan t=0.
Region Of Convergence (ROC) är normalt heller inte samma.
Finns mycket mer att säga om detta, men som sagt, jag har inte särskilt bra koll (även om jag "borde" ha det vid det här laget).
Det finns dock massor av ställda frågor om just detta ute på nätet, med bra svar från kunnigt folk. Så lita inte på mig, googla hellre.

Som du är inne på så kan vi beräkna den dubbelsidiga laplacetransformen av en funktion genom att beräkna två enkelsidiga laplacetransformer och sedan addera.

Givet en funktion f så kan vi dela upp den i två delar f_1 och f_2, där den ena delen f_1 ligger i högra halvplanet och den andra delen f_2 ligger i vänstra halvplanet enligt:

f_1(t) = f(t)u(t) och f_2(t) = f(t)u(-t) vilket ger f(t) = f_1(t) + f_2(t) (u är Heavysides stegfunktion)

Vi kan ta den enkelsidiga laplacetransformen av f_1(t) som vanligt, kalla den F_1(s). f_2(t) ligger i "fel" sida av talplanet men vi kan ta den enkelsidiga laplacetransformen av f_2(-t) som vanligt i stället och kalla den F_2(-s). Den dubbelsidiga laplacetransformen ges nu av F(s) = F_1(s) + F_(s) (notera det subtila men viktiga teckenbytet på s).

Som ovanstående skribent påpekar blir ROC normalt sett annorlunda; för en enkelsidig laplacetransform brukar ROC vara ett halvplan men för en dubbelsidig laplacetransform är ROC normalt sett begränsat åt båda hållen i en remsa. Om ROC för F_1(s) är s > a och ROC för F_2(-s) är s > b (vilket ger att ROC för F_2(s) är s < -b) så har vi att ROC för F(s) = F_1(s) + F_2(s) ges av a < s < -b.

Vet inte riktigt vad det får för konsekvenser i verkliga livet. Men om du har läst en kurs i signaler och system vet du kanske att alla verkliga system är kausala men att det fortfarande kan hjälpa att i teorin studera icke-kausala system. Då behövs den dubbelsidiga laplacetransformen eftersom att den kan hantera icke-kausala signaler till skillnad från den enkelsidiga laplacetransformen.