Maximal effekt av batteri

Hej!

Gymnasielärare i behov av återkoppling, idéer men kanske allra helst om någon säger att jag är helt ute och cyklar.

Introduktion:
Antag att ett batteri har konstant inre resistans, r, och konstant ems, ε. Då existerar en maximal effekt som batteriet kan leverera eftersom polspänningen minskar när strömbelastningen ökar.

Jag uppfattar det som att det går att teoretiskt härleda vad den maximala effekten är beroende på r och ε.

Se här:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/302l/lectures/node62.html

De kommer fram till att detta sker när den yttre resistansen, R, är lika med r. Härledningen är dock för svår för att tillämpa i början på gymnasiet så jag skapade en egen.

Problemet:
I min egna härledning lyckas jag få samma resultat på effekten som länken ger men lyckas inte visa att det sker när R = r (att det sker när R = r känns som ett fiffigt samband). Dessutom är jag inte helt säker på att jag har tänkt rätt i min härledning.

Min härledning:
Om ε och r är konstant så är polspänningen, U = ε-rI, där I är strömstyrkan. Detta sker eftesom polspänningen minskar när belastningen ökar.

Elektrisk effekt är P = UI, (enkelt att bevisa ur definitionen av U och I), alltså är batteriets på den yttre resistansen:

P = (ε-rI)I

För att finna maximal effekt kan vi finna nollställen, medelvärdet av nollställena är symmetrilinjen (vilket vi i matematikkurserna har bevisat tidigare). Vi kan också kvadratkomplettera men vi kan dock inte derivera än.

(ε-rI)I = 0 ⇔
I_1 = 0 och
I_2 = ε/r

I_sym = ε/(2r)

Alltså vet vi att effekten är som störst (eller minst) när I = ε/(2r). Det är enkelt att inse att den är som störst (och inte minst) när I = ε/(2r). Därav har vi ett uttryck för P_max.

P_max = UI_sym =
Uε/(2r) = (ε-rI_sym)ε/(2r) =
(ε-r(ε/(2r)))ε/(2r) = (ε-ε/2)ε/(2r) =
(1-1/2)ε²/(2r) =(1/2)ε²/(2r) = ε²/(4r)

P_max = ε²/(4r)

Vilket är samma resultat som jag sett på många andra länkar och härledningar men jag lyckas inte på något sätt hitta en tillräckligt enkel härledning (eller ens någon annan härledning än den som länken ovan ger) som visar att batteriets maximala effekt sker när R = r. Det intressanta med det är ju också då att det är "enkelt" att inse att verkningsgraden på batteriet bara är 50% när effekten är som störst eftersom hälften av resistansen är den interna resistansen.

Tack på förhand!

Mvh,
BengtZz

Du kommer inte kunna visa på det sambandet om du inte har effekten uttryckt i termer av r och R

P = U*I
I = e/(r+R)
U = R*e/(r+R)

P = e^2 * R /(R+r)^2

eftersom du har att P_max = e^2/(4r)

kan du lösa e^2/4r = e^2 * R /(R+r)^2 för R

Jag är lite för lat för att göra det under semestern, men enligt wolfram alpha blir det rätt
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E2*1%2F(4r)+%3D+e%5E2+*+R%2F(R%2Br)%5E2+solv e+for+R

Edit: Det var ju relativt enkelt att lösa med kvadreringsregler
standardomflyttning ger R^2 + 2Rr + r^2 = 4Rr
R^2 - 2Rr + r^2 = 0
(R-r)^2 = 0
R-r = 0
R = r

Det låter utmärkt. Att jag inte tänkte på att jag kunde använda att P_max = e^2/(4r) för att sedan visa att det sker när R = r. Det borde jag kanske tänkt på.

Hur som helst så skall jag sätta mig in i detta senare. Återkommer om det är något mer, annars anser jag i alla fall min fråga besvarad.

Tack så mycket!

Mvh,
BengtZz

Hittade en kanske lite elegantare lösning så du slipper ha två uttryck för P: (substituerar egentligen bara in R senare)

Givet P = (e-rI)I
och P_max = e^2/(4r)

samma som innan, P = P_max
e^2/(4r) = (e-rI)I
e^2 = 4r(e-rI)I
e^2 = 4reI - 4r^2I^2
e^2 - 4reI + 4r^2I^2 = 0
kvadreringsregeln ger
(e - 2rI)^2 = 0
e - 2rI = 0
e/I = 2r
I = e/(r+R) ger
e(r+R)/e = 2r
r+R = 2r
r = R

Började böka med resistenserna från början av gammal vana, då kan man ju bara derrivera som vanligt

Jag är korkad idag. Du har ju redan räknat ut I = e/2r vid P_max
Sätt in I = e/(r+R) och du är typ klar. (Sista stegen i mitt förra inlägg)