Varför ökar den logistiska modellen snabbast vid t = L/2 ?

Uppgift

Visa att en lösning y (t) till den logistiska ekvationen som uppfyller 0 < y (0) < L ökar som mest då dess värde är L/2 (jag antar att man menar t = L/2).

Ledtråd: Du behöver inte använda dig av formeln för "den allmänna lösningen" för att visa detta.

Den allmänna lösningen till en logistisk DE av formen y ' (t) = ky (1 - y/L) är

y (t) = /.../ (Kolla upp den om ni är intresserade, lite för mycket att skriva).

Så hur går jag tillväga för att visa detta?

Så vitt jag kan se så är det ganska enkelt egentligen. Det är bara att se på differentialekvationen så ser man att ky(1 - y/L) är en andragradsfunktion med nollställen i y = 0 och y = L, vars största värde alltså antas för y = L/2.

Nihilverum har rätt. Och notera att det inte är t som ska vara L/2 utan y. Frågan är alltså: för vilket y-värde är y' maximal? Lösning: y'=ky(1-y/L) är maximal för det y som maximerar uttrycket f(y)=ky(1-y/L). Förutom nihilverums lösning kan du också använda f'(y)=0 osv.