Hur länge studsar en boll ?

FB-medlem "nerdnerd" föreslog (i samband med tråden "0.9999...") starta en tråd om studsande boll, som faktiskt helt upphör studsa efter mycket kort tid - även rent teoretiskt. De flesta tänker sig väl att den (åtminstone teoretiskt) fortsätter studsa hur länge som helst, men förstås med avtagande amplitud. Frågeställningen förekom länge sedan som "Miniproblem" av Göran Grimvall i "Ny Teknik". Det gällde väl då en bordtennisboll, som släpptes från viss höjd över ett bord.

För att förenkla kalkylen, antag bollen startar med viss hastighet V m/s uppåt från bordet (och inte släppes från viss höjd). Om studskoefficient k, tyngdacceleration g och teoretiskt idealiserade förhållanden (ingen luftfriktion etc) så tar det då V/g sek för bollen att retarderas till hastighet 0 på toppen av studsen och sedan lika lång tid tills den på nytt når bordet med hastighet V. Dvs första studscykeln tar 2 V/g sek.

Sedan studsar bollen upp igen, nu med begynnelsehastighet kV, vilket pss ger totaltid 2 kV/g för den studscykeln. Osv erhålles en studsserie med cykeltiderna 2 V/g, 2 kV/g, 2 k^2 V/g, 2 k^3 V/g, .....

Dvs en oändlig geometrisk serie med begynnelseterm 2 V/g och faktor k. |k|<1 ger ändlig totalsumma (2 V/g) / (1-k)

Dvs om tex k=0.8 och V=5 m/s så är bollen stilla efter 5 sek.

Om nu detta är något att diskutera eller ha synpunkter på.

Så nu är jag medskyldig?

Kanske borde du ha väntat lite med svaret, så det blev mer att diskutera.

Men en sak finns det kanske ändå att ta upp. Enligt din/Grimvalls analys så studsar den ändå oändligt många gånger på denna ändliga tid. Blir det verkligen så?

Ja du är medskyldig - Hasse Aaro kommer ta upp fallet i "Veckans brott".

Jag kände inte för att dröja med svar och förklaring. Även om det kanske är lite "opedagogiskt" ge svar och lösning genast - men jag är inte lärare.

Ja det är klart att bollen antages studsa oändligt antal gånger innan den stannar (i den teoretiska härledningen). Det verkade ju du också mena. Men i praktiken lär väl bollen stanna lite tidigare.

Givet de teoretiska premisserna så studsar bollen oändligt många gånger på ändlig tid. Men blir det oändligt många studsar i verkligheten? Knappast. Mot slutet måste ju bollen bara stå och svänga upp och ned utan att lyfta emellan. Det kan kallas för vibration men inte studs. (Och till slut finns det inte längre någon samordnad rörelse, bara molekylernas slumpmässiga vibrationer, dvs värme.)

Detta kan också analyseras mer i detalj. Vill man bara studera just villkoret för när bollen lyfter eller ej, kan vi modellera det med en fjäder med massa m och längden L (gärna på en ledstång så den inte välter) där hoptryckningskraften ges av F=kx. Vill man även få in friktion i modellen så tar man t ex med en friktionskraft Ff som alltid är motriktad rörelsen. Detta är förstås också idealiseringar.

Det här är lite intressant och ändrar ju iaf i detaljerna. COR = coefficient of restitution är alltså samma som studskoefficient.

Generally, the COR is thought to be independent of collision speed. However, in a series of experiments performed at Florida State University in 1955, the COR was shown to vary as the collision speed approached zero, first rising significantly as the speed drops, then dropping significantly as the speed drops to about 1 cm/s and again as the collision speed approaches zero. This effect was observed in slow-speed collisions involving a number of different metals.

https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_restitution

Har f ö också räknar lite på en enkel modell med massa och fjäder med friktion, men då fick jag snarare det motsatta beteendet, COR minskar med lägre kollisionshastighet. Empiri är kung, så det är givetvis något med modellen som är lite för förenklat. Kollar ev lite mer.

spontant, utan att ha tankt till vidare mycket, sa later det som nagot slags resonansfenomen, och jag skulle tro att en bra startpunkt ar att studera gittervibrationernas normal modes. Lite jobbigt kanske. Ska kika pa detta sen, maste skriva klart en rapport bara

Fick du till något?

Kollade lite mer själv, men från ett helt annat håll. Det jag alltså undrar över är om det där med oändligt många studsar (på ändlig tid). Associerade då till ett annat problem som någon ville ha hjälp med här, med en hängande vikt, en fjäder, och en vikt som släpade på ett bord och uträttade friktionsarbete:

(FB) Mekanik sväningnar - universitets nivå

Jag ger lösningen där för hela dynamiken. Visar sig nämligen att den stannar väldigt fort efter bara någon svängning. Det är friktionsarbetet som konsumerar energin och till slut får vikterna att stanna helt.

Situationen med en studsande boll är väl inte HELT analog. Men även där är det ju friktionsarbete som tar energi från rörelsen. Och i själva hoptryckningsfasen är det nog iaf inte galet fel att anta att den tillbakatryckande kraften fungerar som en fjäder. Men hur modellerar man friktionsarbetet i bollen? Här försökte jag först med samma sorts konstanta friktionskraft som i fjädersystemet ovan. Men då får man som jag antydde i ett tidigare inlägg att att studskoefficienten går mot 1 när studshöjden går mot ∞. Inte realistiskt alls. Men den minskar iaf när studshöjden går mot 0 och det blir ett ändligt antal studsar som slutar med vibrationer som sedan också upphör helt efter några få svängningar.

Fick dock iaf till en modell där studskoefficienten går mot ett värde som är mindre än 1 då studshöjden går mot ∞. Det man vill åstadkomma är en term som växer lika snabbt som den totala energin. Det KAN man fixa genom att anta att friktionskraften är proportionell mot fjäderkraften, fast alltid motriktad rörelseriktningen. Dock kanske inte så realistiskt. Och jag tror att man även kan få till iaf något som kvalitativt liknar wikipediacitatet ovan, om man också antar att friktionskraften har en term som beror linjärt på en högre exponent av fjäderkraften (3 blir hyfsat enkel att räkna med).

Allt detta är förstås utrett med formler om det kan vara av intresse.