Svängande fält

Något som jag aldrig har sett kommenteras i någon text om relativitetsteori eller kvantfysik är följande:

Antag att vi i ett inertialsystem har ett fält φ(t, x) = cos(ωt) som alltså "svänger" i samma fas i hela rummet. Hur kommer detta fält att se ut i ett annat inertialsystem?

Låt det första systemet vara ett vilosystem för en kropp och ω vara proportionell mot kroppens massa m, och låt det andra systemet vara sådant att kroppen där rör sig med farten v i x-axelns positiva riktning. Identifiera olika storheter i uttrycket för φ i det senare systemet.

Känns som att "t" har ett beroende på origo, tänker att "t" är egentiden för en observatör i origo? Vore kul att läsa svar på detta.

1. Om du har ett skalärfält φ(x,y,z) i 3D och vill veta hur fältet ser ut i andra koordinater x',y',z' så har du precis samma sorts problem. Det transformerade fältet ges då av
φ'(x',y',z') = φ(x,y,z)
Att man i relativitetsteorin har ytterligare en koordinat t (och t' i det andra systemet) ändrar inte på detta:
φ'(t',x',y',z') = φ(t,x,y,z)
Exempel:
Med de vanliga Lorentztransformationerna
t = γ ( t' - x'v/c²)
x = γ ( x' - v t' )
så ges svaret på din fråga direkt av
φ'(t',x') = φ(t,x) = cos(ωγ(t'-x'v/c²))
Här ser vi två saker:
a. Detta blir en våg som rör sig med hastigheten c²/v. Notera att detta är större än c. Men det är det ju även i det första systemet där vågen t o m har oändlig hastighet! Vad är detta för sorts våg? En stående våg så klart.
b. Den transformerade vinkelfrekvensen ges av
ω' = ωγ
Kanske inte så konstigt om man tänker lite på det.

2. Har här utgått från att φ är ett skalärfält, men så behöver det ju inte vara. Om φ är ett vektorfält, som t ex den elektromagnetiska 4-potentialen, så ändras vektorkomponenterna eftersom man får en ny vektorbas. Dessa transformeras på samma sätt sätt som (ct,x)...
Kanske tänker du dig att φ också skulle kunna stå för tryck eller densitet, men i relativitetsteorin är dessa komponenter i energimomentumtensorn T, dvs den 2-tensor som är källtermen i Einsteins fältekvationer i den allmänna relativitetsteorin, som transformeras på samma sätt som en matris under koordinatbyten. Liknande gäller om det elektriska och det magnetiska fältet som i relativitetsteorin är delar av den elektromagnetiska fälttensorn som också är en 2-tensor.

-----

Slår mig först nu att du kanske inte undrade så mycket för egen del. Du brukar ju ha koll. Iaf, nu har jag gett mina 2 cent.

Bra, nerdnerd!

Det var ett skalärt fält jag tänkte mig i det här fallet.

Om det första systemet är vilosystem för en kropp med vilomassa m och ω är proportionell mot vilomassan, vad blir då våglängden? Kan du uttrycka den i någon mekanisk storhet? Kan du se en koppling till kvantmekaniken?

Det jag tänkte att någon skulle komma fram till är att våglängden blir omvänt proportionell mot rörelsemängden.

Alltså, om det i ett inertialsystem gäller att φ(t, x) = cos(ωt), där ω är proportionell mot vilomassan, så gäller i ett annat system att φ har en frekvens som är proportionell mot den relativistiska massan, och en våglängd som är omvänt proportionell mot rörelsemängden.