Gränsvärde x -->0+

lim x --> 0+ (sin^2(x)) / (tan(x) -x)

symbolab

Fattar inte riktigt det här.

* Vad är det för skillnad på "x --> 0+", "x --> 0" och "x --> +0+ "

* Varför används Hospitals regler två gånger?

Skillnaden är om du går mot nollan från vänster eller från höger. Titta på figuren förstår du.
För att efter en användning har du fortfarande 0/0.

Så alltså:
x --> -2 : X går mot minus 2.
x --> -2- : X går mot minus 2 från vänster

x --> -2+ : X går mot minus 2 från höger.

Så om funktionen ger 0/0 innan deriveringen kan man använda Hospitals, Om funktionen ger 0/0 efter hospitals kan man försöka skriva om det eller använda hospitals igen?

Korrekt.
Om f₁→0 och g₁→0 givet x→c så kan man evaluera f₁/g₁ med x→c genom att evaluera f₁'/g₁' med x→c. Det här gäller generellt (givet att alla egenskaper uppfylls), så du kan sätta f₂ = f₁', g₂ = g₁' och applicera igen.