Illustrera rötternas läge i det komplexa talplanet.

Tl;dr i botten för den som inte uppskattar fina uträkningar!


Lös ekvationen
z^4 = 81i
fullständigt och illustrera rötternas läge i komplexa planet.

Rätt lätt uppgift tills just illustrationen - den jag undrar över.

börjar med att skriva om z^4 till polär form, samma med 81i

vi får

r^4(cos 4v + isin 4v) = 81(cos pi/2 + isin pi/2)

r^4=81
r=3
samt 4v=pi/2 + 2pi*n
v=pi/8 + pi*n/2


därmed får vi lösningarna 3((cos((pi/8)+(4pi*n/8)) + (sin((pi/8)+(4pi*n/8)))

där n=0,1,2 eller 3.

man ska sedan illustrera dessa i det komplexa talplanet, vilket man i facit gör genom att omvandla tillbaka till rektangulär form. Jag kan inte för livet förstå hur de gjort.(Man kan även uppskatta, då man vet att avståndet från origo till punkten z=3, därefter kollar man bara vinkeln. Men detta är en 5p uppgift som jag antar att de vill att man löser till perfektion..)

Tl;DR, Hur omvandlar man från polär form till allmän form?

Den med i:et framför brukar tas längs y-axeln, den utan i framför brukar tas längs x-axeln. Du får väl kolla vad de trigonometriska funktionerna ger dig. Verkar som du glömt ett i i din lösning.

Visar man inte bättre kunskaper om man löser en uppgift på ett enkelt sätt än om man krånglar till det?
Om du kan motivera varför din lösning är korrekt (och den nu är det förstås) så borde det ge full pott.

I det här fallet finns ingen anledning att gå över till rektangulär form.
Ekvation: z^4 = 81 i = 3^4 e^(i pi/2 + i n 2pi),
Lösning: z = 3 e^(i pi/8 + i n pi/2)
Tolkning: Rötterna ligger på cirkeln |z| = 3 med en rot vid vinkeln pi/8 (dvs 1/4 av 90 grader) och sedan utspridda med pi/2 (= 90 grader) mellan sig.