skissa en graf till en arctan-funktion

Hej!
Jag ska först räkna derivatan till funktionen f(x)=arctan((x-1)/(x+1))+arctan((x+1)/(x-1) och sedan ska jag skissa grafen.
När jag deriverade funktionen så fick jag att f'(x)=0 vilket betyder att funktionen är konstant MEN den är inte det. När jag ritar upp funktionen i grafritare så är den inte alls konstant.

Min första fråga är, om derivatan är lika med noll i alla punkter hur kan det komma sig att funktionsvärdet kan ändras?

Andra är, hur ska jag gå vidare enbart genom funktionen för att kunna skissa funktionen? jag kan inte andvända mig av ngn teckenstudie eller ngt.

Derivatan kan vara konstant även om funktionsvärdet ändras om funktionen ej är kontinuerlig.

Rita upp funktionen. Tips:
Det händer saker runt -1 och 1.

Vad blir f(0)?
Gränsvärde då x —> ±oo ?

om x går mot -1 då kommer andra termen i funktionen att försvinna och den första blir arctan(oändligheten) som jag inte riktig vet vad den innebär.

om x går mot 1 då kommer första termen att försvinna och andra termen blir arctan(oändligheten) som jag inte vet vad som händer med funktionen.

funktionsvärdet går mot pi/2 oavsett om det går mot +oändligheten eller -oändligheten. Men hur ska jag komma vidare?

f’(x) = 0 då |x|>1 och f(x) —> pi/2 då x —> ±oo ... medför ...?

Än en gång, vad blir f(0)?

Dra ett gränsvärde, eller rättare saft två, då arctan för ett värde går mot plus och minus oändlighet.
Detta kan du göra mha standardvärden alt. Tänka dig vad en vinkel går mot om motstående kateter går mot oändligheten I en rätvinklig triangel.

Jag hävdar att f(x) = pi/2, d.v.s. f är verkligen konstant.
Mer generellt hävdar jag att om arctan(t) = s så gäller arctan(1/t) = pi/2 - s. I ditt fall är t = (x-1)/(x+1).
Antag därför att arctan(t) = s. Detta betyder att t = tan(s).
Då gäller 1/t = 1/tan(s) = cot(s) = tan(pi/2 - s), så arctan(1/t) = pi/2 - s.

Men f(0) = arctan(-1) + arctan(-1) = 2*(-pi/4) = -pi/2.

Jag såg när jag lät Wolfram Alpha rita upp grafen att den hoppade.

Mitt fel var att utgå från att arctan(cot(t)) = pi/2 - t.
Men då t < 0 gäller i stället arctan(cot(t)) = -pi/2 - t.
Alltså får vi arctan(tan(t)) + arctan(cot(t)) = sign(t) pi/2, där sign(t) = +1 om t > 0, = -1 om t < 0.