Bevis sökes: Produkten av positiva tal är...?

Hej!

Har någon ett sätt ett bevisa att produkten av två olika eller samma positiva tal är ett positivt tal?

Eller kan man på något sätt anta det genom att skapa en ring eller kropp med addition och multiplikation för positiva reella tal och sedan hänvisa till att ringen eller kroppen är sluten under multiplikation?

Varför vill jag veta detta?

Jo för att jag kan nämligen bevisa att:
(-a)*(-b) = a*b

Men det visar ju bara att de är samma. Båda två kan ju lika gärna vara negativa.

Jag kan också bevisa att (-1)*(-1) = 1, och vi vet ju att 1 är ett positivt tal. Men detta är ju bara ett exempel från oändligt många andra. Å andra sidan är det ju lätt att tro på att a*b är positivt. Men jag vill inte tro, jag vill veta.

Det kanske också är så att det är något man redan antar?! Ja som sagt, många frågor.


Tacksam för tips, idéer och bevis!

Mvh,
BengtZz

Är inte det helt enkelt så man definierar? En definition går inte att bevisa, däremot så kan man bevisa räknereglerna för definitionen.

Är väl ett axiom som därför inte behöver bevisas.
N × N → N

Det kanske det är. Vad heter den definitionen?

Vilket axiom? Vad heter det eller hur är det formulerat?

Låt säga att vi vet att multiplikation är slutet i N. Är det ett axiom?

Kan man då anta att multiplikation i R^+ är sluten? Väljer man det som ett axiom? Bara för att det gäller i N behöver det ju inte gälla i R eller R^+.

T.ex. så är ju multiplikation i R^- är ju inte sluten, eftersom vi i alla fall vet ett exempel (-1)(-1) = 1.

Vet inte riktigt vad du egentligen vill ha bevisat förklarat.

Men ett relevant påstående kan kanske vara att gruppen multiplikation med positiva tal är isomorf med gruppen addition. Isomorfin ges av logaritmen:
ln(1)=0
ln(ab)=ln(a)+ln(b)

Eller kanske mer relevant:
e^0=1
e^(a+b)=e^ae^b

Sen kan man kanske argumentera att alla tal e^a är positiva och alla positiva tal kan skrivas som e^a.

Ett annat sätt kan kanske vara induktion. Säg att vi vill visa att n*p är positivt, för positiva heltal n och något fixt positivt tal p. Vi gör induktion på n. Basfallet är enkelt n=1 för 1*p=p>0. Induktionssteget är också enkelt (n+1)*p=n*p+p>n*p>0. Sedan för rationella tal så definierar man multiplikation utifrån heltalen så det förs över nästan direkt. För reella tal kan vi definiera saker som gränsvärden så det ska inte vara några problem då heller.

Vet inte fall det här var hjälpsamt.

TS kan börja med att ge mig en definition av positivt tal.

Vad "får" vi antaga?

0\leq sum(a,i=1..floor(b)) \leq a*b.

Done?

Det finns bara två automorfier på Z och du har fastnat i en av dem.

Visste att du skulle kunna vara till hjälp!

Det här var ju jävligt bra, för jag har aldrig tänkt på en sådan definition. Eller att det ens behövs. Men det gör det väl, antar jag.

Tillåts jag omformulera frågan?!

"Kan någon ge en eller flera definitioner av ett positivt tal och med hjälp av denna eller dessa bevisa att produkten är positiv?"

Jag vill visa att a*b är ett positivt tal (vet inte definitionen för positivt tal) om a och b är positiva tal.

I sammanhanget kan det vara relevant att veta att jag inte läst speciellt mycket matematik, 66hp är allt som allt det jag har läst. Det kanske är relevant för att förklaringarna skall bli grundliga (om det går)

Jag har läst (ish):
Någon inledande algebra-kurs på 7.5hp~, Linjär algebra 1 7.5hp~, elementär talteori 7.5hp, Envariabel 15hp~, flervariabel 7.5hp, inledande statistik 7.5hp~ samt lite "datormatte" med MATHLAB, Maple och dylikt.

Jag googlade på vad isomorfism är så att jag fick en orientering kring vad begreppet innebär. Eftersom jag känner mig säker på vad en bijektion är tror jag i alla fall att jag fattar, på ett ytligt plan, vad isomorfism är.

Jag förstår dock inte hur detta bevisar något. Men det beror som sagt, mest troligen på, min oförmåga att förstå vad isomorfism är.

Rent spontant känns detta bättre. Men går det inte att göra på ett mer grundligare sätt? Går det inte att bevisa rakt av genom att R, +, * är en kropp och typ en definition av ett positivt tal? Förstår du hur jag menar? Vi kan ju med hjälp av det t.ex. visa att a*0 = 0.

Jo det var mycket hjälpsamt, kanske inte med exakt det problemet jag formulerade men det fick mig att tänka i andra banor. Induktionsbeviset kanske OCKSÅ är intressant eftersom det är ett centralt innehåll på gymnasiet. Jag jobbar ju som gymnasielärare.