"runaway" rörelse med negativ massa

Vill här bara tala om en lite kul grej om man kan tillåta m att bli negativ i Newtons teori, dvs både som källan till gravitation och i Newtons kraftekvation. Till stor del täcks det följande i https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_mass#Runaway_motion (läs den!) men jag är lite mer detaljerad med formlerna.

Vi utgår alltså från sambanden
F = m a
Fij = (G mi mj/rij^2) eij
där Fij är kraften på mi orsakad av mj, rij är avståndet mellan massorna, och eij är en enhetsvektor från mi mot mj. Notera att
eji = -eji
Accelerationen på respektive kropp ges alltså av
ai = Fij / mi = (G mj/rij^2) eij

Nu låter vi m1 = -m och m2 = m, för m > 0.

Vid t = 0 antar vi att x1=0, x2=r, v1=0, v2=0 (och inga komponenter i y eller z-led. Vi har då alltså att r12=r21=r, e12=+1 (framåt i x-riktningen) och e21=-1 (bakåt), och får

a1 = (G m2/r12^2) e12 = (G m/r^2) (+1) = G m/r^2
a2 = (G m1/r21^2) e21 = (- G m/r^2) (-1) = G m/r^2

Båda massorna accelererar alltså framåt med samma acceleration a=Gm/r^2, varför avståndet inte ändras, och a därför blir en konstant! Hastigheterna ökar alltså med tiden enligt

v1 = v2 = v = a t

i alla fall så länge v << c, för nära c måste vi börja ta hänsyn till relativitetsteorin.

Den totala energin blir
m1 v1^2/2 + m2 v2^2/2 = m v^2/2 - m v^2/2 = 0
dvs det skapas ingen energi i detta accelererande system. På liknande sätt ser man att det totala rörelsemängden blir 0, vilket bekräftar att systemet accelererar utan någon yttre kraft.

Diskussion

Negativ massa har det spekulerats om förr. (Notera dock att det INTE är samma som antimateria, som har positiv energi!) Det är t ex nödvändigt för att hålla ett s k maskhål öppet, och det behövs i Alcubierres warpdrift, båda exemplen från den allmänna relativitetsteorin (GR). Och man kan även iaktta negativ massa mellan två väldigt närliggande metallplattor (Casimireffekten - kan förstås med kvantfältteori och det har även verifierats experimentellt). Det betyder naturligtvis inte alls att man skulle kunna framställa en större klump med negativ massa, men ger oss iaf en anledning till att hålla fantasin vid liv.

Men det här exemplet visar att det ju även kan hända intressanta grejer med negativ massa i Newtons teori. Och gör det kanske ändå lite mindre konstigt vad negativ massa kan göra i GR. Eller möjligen tvärtom, får en att inse hur konstiga grejer negativ massa är egentligen..

Den som har tid och intresse skulle kunna fundera på
* systemets stabilitet gentemot små störningar?
* hur blir det om man släpper på villkoret att all rörelse ska vara i x-riktningen? Kanske t ex finns en lösning som spiraliserar utåt?
* hur blir det när v kommer upp nära c?

Blev tyvärr ett fel. Så här skulle det ha varit:

eji = -eij

I ö är det kul att vi är olika. Men är det verkligen bara jag som tycker att den här runaway-lösningen är lite skoj? (Bump.)

I länken nämner de också en annan effekt (som kommer från det här runaway-fenomenet) som kanske är mer störande: I en blandning mellan vanlig gas och en gas där partiklarna har negativ massa, så ökar temperaturen i den förra mot oändligheten samtidigt som temperaturen i den senare ökar mot minus oändligheten.

Negativ massa är ett ganska intressant koncept. I boken 'Mechanics' av Landau och Lifshitz skriver de i sin härledning av Newtons teori att negativ massa inte är möjligt om "the principle of least action" (aldrig hört det på svenska faktiskt) ska stämma, vilket är den eleganta principen som man härleder rörelseekvationer för teorier inom fysik generellt.

Ett bevis av deras påstående:

"Action" brukar man ofta skriva som S och är tidsintegralen över "Lagrangian" L = Kinetisk energi - Potentiell energy. Alltså:

S = ∫ dt L

Vi kan göra det enkelt för oss och koncentrera oss på en fritt rörande partikel med massa m och fart v. Vi sätter alltså den potentiella energin lika med noll. Principen om en minsta verkan (?) säger då att den väg som partikeln tar i verkligheten mellan två tidpunkter är sådan att S är ett minimum (åtminstone ett extremvärde). Man härleder Newtons första lag (v = konstant) genom att lösa för δS = 0 (till första ordningen), dvs att S är ett extremvärde så att små variationer i den väg partikeln tar inte förändrar värdet för S.

Om S är ett minimum så måste vi också ha δ²S > 0 (jämför med vanliga kontinuerliga funktioner där f''(x) > 0 i ett minima). Så låt oss se för vilka variationer detta stämmer. Verkan för en fri partikel blir:

S = ∫ dt (1/2)mv²

Låt oss nu tänka förändringar i den väg som partikeln tar: r -> r + δr där δr är variationen. (Eftersom vi håller start och slutpunkt konstanta så måste δr = 0 vid dessa punkter.) Variationen i fart blir v -> v + δv. Vi kan expandera L med en Taylor-expansion:

L = L₀ + (dL/dv)δv + (1/2)(d²L/dv²)δv²

(Mer termer behövs inte för att L är bara en funktion av v i kvadrat, vilket också ger ett exakt resultat)

Expansionen av S ger S = S₀ + δS₀ + δ²S₀. Så vi får

S₀ + δS₀ + δ²S₀ = ∫ dt (L₀ + (dL/dv)δv + (1/2)(d²L/dv²)δv²)

Vi kan identifiera integralen över L₀ som S₀ och integralen över (dL/dv)δv som δS₀, vilket lämnar:

δ²S₀ = ∫ dt (1/2)(d²L/dv²)δv² > 0

Eftersom variationen i farten i kvadrat alltid är positiv och eftersom d²L/dv² = m reduceras kravet till:

m > 0

Alltså måste massa vara positivt om det ska uppfylla principen som vi härleder Newtons lagar med.

Intressant.

Mechanics av LL är verkligen i en klass för sig. Så mycket på så få sidor och ändå så läsbart. Dock inget för nybörjare. En väldigt trevlig liten bok för de som iaf vill nosa lite på begrepp som lagrangian och verkan osv är The Theoretical Minimum: What You Need to Know to Start Doing Physics av Leonard Susskind.

Jo, det heter minsta verkans princip. Fast det verkar inte finnas någon svensk Wikipediasida om det... Chans för någon att göra en insats!

Angående tecknet... Just nu är jag lite osäker, men vad jag förstår är inte Hilbert-Einstein-verkan i GR ett minimum, inte ens lokalt. Inte heller ett max, men den är ett extremvärde för variationer av metriken, som både kan ge större och mindre S beroende på vilka metrikkomponenter som varieras. Det är en sorts sadelpunkt.

Dock är det ändå något med tecknen som jag inte får riktigt grepp om. Uppenbarligen händer det ju konstiga grejer om massa får vara negativ. Ändå verkar ju inte det skrämma forskare som t ex Kip Thorne när de spekulerar om möjligheten att göra s k maskhål.