konvergensradie och intervall

Hej! Behöver hjälp att lösa två serie-uppgifter.
Missade de föreläsningarna tyvärr.

1) är serien absolut konvergent, betingat konvergent eller divergent
n=1 till oändligheten (-1)^n/ nln(1+1/n)

2) konvergensradien och intervallet
n=1 till oändligheten n^3x^n/2^n

Jag svarar på ettan nu, kommer kanske tillbaka för tvåan senare.

Du kan läsa om begreppen som frågan innehåller i den här artikeln. Det går att se att serien inte är absolut konvergent eftersom absolutbeloppet av an (dvs term nummer n) går mot 1 då n → ∞ (genom att testa med t.ex. n = 10 kan du se att det går ganska snabbt att komma nära 1).

Den alternerande serien konvergerar dock, vilket kan ses med hjälp av testet för alternerande serier. Termernas absolutbelopp är ju avtagande för ökande n. Således är serien betingat konvergent.

På tvåan antar jag att man skall läsa det som n³*[x/2]^n. För att hitta konvergensradien behöver kvottestet vara uppfyllt.

Således:

lim [n → ∞] (a{n+1}/an) = lim [n → ∞] {(n+1)³*(x/2)^(n+1)}/{n³*(x/2)^n} = lim [n → ∞] {(n+1)/n}³*{x/2} = x/2

lim [n → ∞] (a{n+1}/an) < 1 ⇔ x/2 < 1 ⇔ x < 2

Ett nödvändigt krav för konvergens för alla serier är att termerna går mot 0. Serien är alltså varken betingat konvergent eller absolut konvergent.

EDIT: Ser nu att frågan är tvetydig. Menar du serien (-1)^n/(n*ln(1 + 1/n)) eller (-1)^n*ln(1 + 1/n)/n?

Min lösning utgick ifrån tolkningen [(-1)^n]/[n*ln(1 + 1/n)] (jag lade till hakparenteser för att förtydliga ytterligare). Denna serie är uppenbart inte absolut konvergent eftersom termernas absolutbelopp mycket riktigt inte går mot noll, men begreppet "betingad konvergens" är ju i grunden lite lustigt eftersom det enligt Riemanns seriesats innebär att man kan skriva om seriens termer i olika permutationer och då få fram att serien konvergerar mot olika värden eller till och med divergerar med vissa permutationer. Att en serie är "betingat konvergent" är alltså fundamentalt annorlunda jämfört med att en serie är (obetingat) konvergent.

Det ska vara:

[(-1)^n] / [n*ln(1+1/ln)]

och

[n^3 * x^n] / [2^n]

Men att vara betingat konvergent betyder att serien är konvergent + lite annat. Serien i fråga är dock inte konvergent, vilket du kan se genom att studera termernas absolutbelopp som ej går mot 0, vilket är ett nödvändigt krav för konvergens. Om serien hade varit konvergent hade man som du säger kunnat permutera termerna för att få den att konvergera mot vad man vill. Så är dock inte fallet här.

I din länk kan du ju se att en förutsättning i Leibniz villkor är att seriens termer går mot 0. Vi kanske pratar förbi varandra nu eftersom du verkar kunnig men jag vänder mig alltså emot att du sa att den alternerande serien är konvergent. Det är det inte.

Jag kollade lite noggrannare på artikeln om testet för alternerande serier och du har naturligtvis rätt. Det krävs att termerna i sig måste gå mot noll, utöver att de måste vara monotont avtagande. Jag får skylla på att det är många år sedan jag läste envariabelanalysen.