Energi och entropi-paradox?

Ett problem jag inte får till än hur jag försöker:

Fall 1: Antag vi har två helt isolerade kuber A och B. A håller 100grader C B håller 0grader C. Säga att bägge består av järn eller identiska material. ingen fasomvandling ske, bara hänsyn till värmekapaciteten tas som antas vara konstant i området 0-100grader C. För samman block A och B så kommer temperaturen att jämnas ut efter en stund till 50 grader C.


Fall 2: Samma isolerade block A och B förs samman igen men nu placeras ett peltierelement mellan blocken. under en stund kan energi extraheras när temperaturen utjämnas. Entropiökningen i systemet A-B kan utnyttjas att erhålla energi ur, precis som en stirling motor eller Carnot-process. Efter en stund kommer här också jämvikt att infinna sig efter en stund. A-B kommer att bägge få 50grader C gemensam temperatur.

Det som förbryllar mig är att i både fall 1 och fall 2 så är sluttillstånden identiska dvs A-B=50grader C men i fall 2 har vi dessutom plockat ut energi men i fall 1 så har vi inte plockat ut energi. Var har den energi som vi inte tagit ut i system 1 tagit vägen? Den har ju inte omvandlats till värme då sluttillståndet är 50grader C. Systemen är helt isolerade så inget energiutbyte kan ske med utsidan. Entropin är dessutom identiska i sluttillståndet för både fall1 och fall2.

Ser man på det relativistiskt så har ju faktiskt system A-B inklusive energin som bildades i fall två något högre massa än i fall 1 med system A-B, om vi räknar med E=mc2

Var gör jag tankefelet? Jag begriper inte!

Måste sluttemperaturen i fall 2 vara 50 grader? Kan den inte vara lägre?

Funderade på det också, i så fall skulle det ju stämma. Enda sättet att bevisa det är ju att räkna på det, frågan vilken ekvation man skulle tillämpa?

Ställ upp en enkel modell, t.ex. att avgiven elektrisk effekt är proportionell mot temperaturdifferensen mellan de två kuberna.

Det är nog som manne1973 föreslår. Man kan se det som att det varmare objektet värmer det kallare, det är så värmeflödet ser ut, vilket är ett energiutbyte. I fall 1 så går all energi från A åt till att värma B.

Säg att vi har ett svänghjul (eng. flywheel) som lagrar energin från en stirlingmotor i fall 2. Den energin som hamnar i svänghjulet kommer förstås inte kunna användas till att även värma det kallare objektet.

Om du vill räkna på det så kan du nog räkna på att 1-T(B)/T(A) (carnot-cykel, bättre blir det inte) av energin går åt till att få igång svänghjulet.

** T(x) = temperaturen av x i kelvin

Kan hastigheten som temperaturutjämningen sker med spela någon roll?
Går utjämningen fortare i fall 2?

Jag förstår inte, hur kan två isolerade kroppar utbyta energi? Då är de inte isolerade längre?

Hypotesen var att man för samman kropparna då är dom sins emellan inte är isolerade längre men fortfarande isolerade utåt.

Jag blir ännu mer konfys över nedanstående problem om man varierar förutsättningarna:


Betänk att man har två isolerade kroppar A B som består av säg t ex syrgas och kvävgas. Bägge kropparna har exakt samma temperatur.

Man för samman kropparna så att gaserna kan komma i kontakt med varandra. Efter en stund så blandas gaserna och man får en jämn mix av Syrgas och kvävgas.

Rimligtvis har entropin för sammanfogade system A och B ökat.

MEN enligt den makroskopiska definitionen på entropi så är ju S= delta Q/T. I det här fallet så utbyts ingen energi, delta Q=0. Bägge hade ju samma temperatur. Räknar med formeln så kommer ju entropiändringen att vara noll. Men det kan den ju inte vara då gaserna har blandats.

http://sv.wikipedia.org/wiki/Entropi#Makroskopisk_definition

Vad gör jag nu för fel i resonemanget?

Nu var det ett tag sen jag läste Reif... Men det här är nog ändå enklast att förstå med den mikroskopiska definitionen, där varje molekyl efter blandningen ju faktiskt har dubbelt så mycket volym, vilket i sig ger dubbelt så många tillstånd för varje molekyl.

Men envisas man med den makroskopiska definitionen så gäller ju dS=dQ/T för reversibla processer (i annat fall är dS>dQ/T). Vilket det ju inte är om en gas expanderas till dubbla volymen med konstant T. Expanderas en gas adiabatiskt (utan värmetillförsel) till dubbla volymen så sänks temperaturen på ett sätt som bestäms av gasens adiabatiska index.

http://sv.m.wikipedia.org/wiki/Adiabatisk_process#Ideala_gaser

Så för att få upp det till starttemperaturen igen så måste man tillföra värme, och därmed ökar ju entropin. Räknar man sen så på båda gaserna för sig så får man ju entropiökningen du talar om.

Men vad händer i så fall om det är samma gas innan i de två behållarna? Då borde ju entropin öka av samma skäl, fast man i DETTA fall förstår att den inte borde det! (Makroskopiskt blir det ju ingen skillnad efter blandning..) Där har du, om jag minns rätt, en verklig paradox - i den klassiska fysiken. Inte hjälper det heller om man använder den mikroskopiska definitionen och den klassiska Boltzmann-fördelningen för partiklarnas energier. Lösningen ges faktiskt av kvantfysik (iaf enl Reif). Enligt kvantfysik är alla molekyler av en viss gas verkligen identiska. Det ger ingen som helst skillnad om två molekyler byts ut mot varandra (förutom att vågfunktionen byter tecken om det är fermioner). Den relevanta statistiken är då inte Boltzmann utan Bose-Einstein (för bosoner) eller Fermi-Dirac (för fermioner). I båda fallen blir det ingen entropiökning om man räknar mikroskopiskt, precis som det bör vara.

Det var mycket intressant insikt. Jag bortsåg från att ds= dQ/T enbart gäller för reversibla processer. Jag har för mig man får problem också med entropi för gravitationella system som universum.

Men i det här fallet blir det ju fri expansion och inte adiabatisk expansion. I fallet fri expansion så uträttas inget arbete mot kärlväggarna så temperaturen kommer inte att sjunka. Om det är adiabatisk expansion så sker expansionen mot en kolv som sakta förflyttar sig. I mitt fall hade vi en skiljevägg som momentant togs bort så det blir bara volymexpansion men utan temperaturfall.

Fri expansion: http://en.wikipedia.org/wiki/Free_expansion

Om man räknar med ditt förfaringssätt ändå och låtsas att det är adiabatisk expansion av två gaser sen adderar ihop dessa och höjer temperaturen med värme till ursprungstemperaturen.

Kommer man att få korrekt värde på den uträknade entropin trots man har antagit orimliga saker?