Får man Maclaurinutveckla överallt?

Vanligtvis brukar man Maclaurinutveckla vid t.ex. gränsvärden när x → 0. Min uppfattning är att centreringen kring x = 0 är ganska central. Dock stöter jag ofta på tillämpningar där man använder Maclaurinutveckling när x → ∞.

Om man gör ett variabelbyte, t.ex. t = 1/x och låter x → ∞, dvs t → 0 (vilket ibland händer) kan jag gå med på det. Oftast är det dock inget sådant utan man utnyttjar bara utvecklingen som den är, trots att x oftast inte är i närheten av 0.

Jag vill minnas att ett krav för att kunna Maclaurinutveckla en funktion f(x) var att den och dess derivator var kontinuerliga i ett intervall som innehåller 0. Kan detta tolkas hur fritt som helst, dvs ]-10^100, 10^100[ innehåller ju 0 så då är det okej att utveckla i princip överallt?

Kort sagt: när och var får man Maclaurinutveckla?

Maclaurinutvecklingen innehåller ju termer av typ x^n delat med typ k^n och om x är litet blir termerna mindre och mindre. Så med tillräckligt många termer så blir de så små att de sista kan försummas.
Men rent praktiskt Macluarin fungerar bäst för små x.
Om man känner värdet i en viss punkt så kan man Maclaurinutvecka runt den.

Och med andra ord - Du har rätt!

Så länge f(x) är tillräckligt många gånger differentierbar kring noll får man alltid en Maclaurinserie som konvergerar kring noll. För att Maclaurinserien skall konvergera på hela den reella axeln måste funktionen vara holomorf i hela det komplexa talplanet, d.v.s. den komplexa derivatan f'(z) existerar i varje punkt.

Tillägg: Kan ge det vanligaste exemplet också, arcustangenten. Låt

f(z) = arctan(z) ⇒ f'(z) = 1/(1+z²).

Då gäller det att f'(i) ej existerar ty derivatan har en singularitet i den punkten. Därför konvergerar inte arctan(x) på hela den reella axeln, utan bara på ett mindre intervall kring noll.

Maclaurinutvecklingen av 1/(1+x²), dvs 1 - x² + x^4 - x^6 + x^8 - ... konvergerar för |x| < 1.

För |x| > 1 kan vi använda en Laurentserie:
1/(1+x²) = (1/x²)/(1+1/x²) = (1/x²) (1 - 1/x² + 1/x^4 - 1/x^6 + 1/x^8 - ...)
= 1/x² - 1/x^4 + 1/x^6 - 1/x^8 + 1/x^10 - ...

[quote=eldoradokaffe|52662579]För att Maclaurinserien skall konvergera på hela den reella axeln måste funktionen vara holomorf i hela det komplexa talplanet, d.v.s. den komplexa derivatan f'(z) existerar i varje punkt./QUOTE]
Några holomorfa funktioner är: sin, cos, exp (dvs e^...)

Tack för era svar. Jag kanske borde ha påpekat att mina kunskaper enbart sträcker sig till envariabelanalys. Således, inga komplexa derivator eller holomorfa funktioner. Ett av problemen som gav upphov till min frågeställning lyder som följande:

Bestäm p(x) så att lim x → ∞ (x^4∙e^(1/x)∙ln(1+2/(x^2)) - p(x)) = 0

I facit börjar skriver de om uttrycket med standardutvecklingar direkt (vilket är det enda steg jag inte känner mig helt bekväm med, eftersom x → ∞ och inte x → 0 i detta fall). Efter lite räkningar och förenklingar med ordo kommer man fram till

2x² + 2x - 1 + O(1/x) - p(x)

och för att detta ska gå mot 0 måste p(x) givetvis vara 2x² + 2x - 1.


Kanske ska omformulera frågeställningen: givet att vi talar om reell analys i en variabel, är det matematiskt godtagbart att i ett uttryck ersätta en elementär funktion (för det är allt som oftast elementära funktioner vi behandlar) med dess Maclaurinutveckling för alla x i dess definitionsmängd*?

*Om nej, gäller ovanstående fast för alla x inom dess konvergensradie?

Det fetade är sant. I flera fall är konvergensradien oändlig, det gäller exempelvis i fallet sinus- och exponentialfunktionen som manne1973 nämnde. Detta innebär att Maclaurinserien kan ersätta funktionen helt och hållet för alla x. I fallet då konvergensradien inte är oändlig konvergerar Maclaurinutvecklingen mot funktionen för x inom konvergensradien.

Anledningen till att jag nämnde komplex analys och holomorfa funktioner är att det är först med den komplexa teorin som konvergensfrågor kring Maclaurinserier blir begripligt enligt min erfarenhet, eftersom det visar sig att den komplexa utvidgningen av funktioner i någon mening har bäring på hur funktioner beter sig på den reella axeln.

Att använda Maclaurinutvecklingar med bara några enstaka termer för stora x är givetvis inte giltigt, se exv. hur felen växer i femte ordningens Maclaurinutveckling av sinus- och exponentialfunktionen. Redan vid x = 20 är alltså felet i storleksordningen 10⁴-10⁶. En bättre approximation för sinus är redan för dessa x att approximera sinusfunktionen med noll och exponentialfunktionen med 2ⁿ. Enda undantaget från detta är om feltermen går mot noll då x → ∞, vilket är sant i ditt exempel.