Existerar komplexa kvadratrötter?

Existerar komplexa kvadratrötter i formell mening?

Ja, men jag tror inte man anser dem vara entydiga.

z²=re^(iθ) (r≥0)

har lösningarna

z=±√r·e^(iθ/2)

Visst gör de det. Men man får vara lite försiktig. Hur man gör beror också på vad man menar med kvadratrot. Vad menar du? Vi kan till exempel bestämma att det tal som kvadrerar till x och har minst argument kallas roten ur x. Med den definitionen är 2 roten ur 4 och i roten ur -1.

Det blir problematisk då man betraktar lösningen till en andragradsekvation som kan se ut som 2±√(-4).

Denna lösning har ± framför kvadratroten, vilket indikerar att det är fråga om en reell rot. Det känns då konstigt att beräkna den som en komplex rot.

Jag tycker inte ± indikerar att den är reell. Man kan ha ± på komplexa tal också.

Jag menar att om kvadratroten är komplex så hade det räckt att skriva 2+√(-4) och det hade blivit rätt.

Sättet att redovisa lösningen av andragradsekvationer är bara formalism som är till för att vara enkel och tydlig.

Men då missar du ju 2-√(-4).

Inte som jag tänker mig förloppet.

2+√(-4)

Kan evalueras på två sätt:

2+(2i)

eller

2+(-2i)

Jag har för mig att √x alltid skall vara en entydig funktion och att man därför bestämt att den rot avses som har en vinkel -π < φ ≤ π.

Om inte annat sägs brukar man med √z mena principalvärdet, och detta är entydigt. För ett godtyckligt komplext tal är det definierat på följande sätt:

z=r*e^(i*arg(z))
√z=√r * e^(i*arg(z)/2)

Observera att r inte är realdelen, utan avståndet till origo, dvs √(Re(z)²+Im(z)²)) och tan (arg(z))=Im(z)/Re(z)

Det borde vara att intervall av halva längden. I intervallet (-pi,pi] kommer båda rötterna med.