Sannolikhet, betingning

Om X~N(0,1), Y~exp(1) och Z=X*sqrt(Y), sök den karakteristiska funktionen för Z genom att använda betingning.

phi_Z(t) = E(exp(itZ)) = E(exp(itX*sqrt(Y)) = [betingar på Y och använder lagen om total förväntan] E(E(exp(itX*sqrt(Y) | Y=y)) = [tar bort det yttre vänteärdet] = ∫ E(exp(itX*sqrt(Y) | Y=y)*f_Y(y)dy

I det här steget använder facit E(exp(itX*sqrt(Y) | Y=y) = exp((-(sqrt(y)*t)^2)/2) dvs f_X(t*sqrt(y)), (fast utan normeringen med sqrt(2*pi)). Hur inser man detta?

Den karakteristiska funktionen till N(0, 1) är e^(-t^2/2). Så alltså följer det direkt att E[e^(i (t*sqrt(y)) X)] = e^(-(t*sqrt(y))^2/2)

Ah! Tack