Vattendjupet

Kan någon hjälpa mid med denna uppgift vet inte äns hur jag ska börja!?
Tack på förhand!

Vattendjupet i en hamn varierar enligt funktionen y = 3,0 + 1,5 cos 0,1pi*t ,
där y är vattendjupet i m och t är tiden i h efter midnatt.

a) Beräkna största möjliga vattendjup.

b) Beräkna vid vilka tidpunkter vattendjupet är 4,0 m.

För b) borde gälla:
4=3,0+1,5 cos0,1pi*t löses för t= med invers cos för båda sidorna.
(om jag inte är ute och simmar i hamnen )

Vattendjupet i en hamn varierar enligt funktionen y = 3,0 + 1,5 cos 0,1pi*t ,
där y är vattendjupet i m och t är tiden i h efter midnatt.

a) Beräkna största möjliga vattendjup.

b) Beräkna vid vilka tidpunkter vattendjupet är 4,0 m.

Lösning: a) -1=<cos(0.1*pi*t)=<1 så det största möjliga djupet är 3+1.5=4.5. Du kan också derivera med avseende på tiden och finna maximivärden för t och sedan sätta in dina värden och se vilket som är störst.

b) y=4=3+1.5*cos(0.1*pi*t) --> 1/1.5=cos(0.1*pi*t) ---> arccos(2/3)/(0.1*pi)=t

t_1=0.84/(0.1*pi)+2*pi*n/(0.1*pi)=2.68+20*n , n=0,1,2,...
t_2=-0.84/(0.1*pi)+2*pi*n/(0.1*pi)=-2.68+20*n=17.32+20*n, n=0,1,2,...

Så t_1= 2 h (0.68*60)min= 2h 40 min 48 s efter midnatt och sedan var 20 h
t_2=17 h 19 min 12 s efter midnatt och sedan var 20 h

Enligt min gamla grafräknare:
A: maxdjupet 4,5m och mindjupet 1.5 (???)
B: Då Y=4,0 inte är exakt mellan max o mindjupet kan det väl inte återkomma vid jämna tidsintervall?, det borde ju vara "4,0m - kort tid - 4,0m - lång tid - 4,0m - kort tid - osv

Kanske har jag glömt en parentes nå'n stans... ?

Yes maxdjup 4.5 och mindjup 1.5 då cos(0,1pi*t) som minst är -1 och y_min=3-1.5=1.5. I mitt tidigare inlägg fanns det två tider som är periodiska. Så den korta tiden du skriver om är mellan 2.68-(-2.68) vilket är ungefär 5h 22 min medan det långa intervallet är 17.32-2.68 vilket är ungefär 14h 38 min. Lägger du ihop detta ser du att det blir 20 h vilket är periodtiden.

Jag ser nu att du skrev två tider + 20h . Jag såg bara en.

Tack så mycket! Men jag undrar två saker här:
1. varför skriver man 2pi*n asså varför ska man ha den!?
2. När jag räknar ut på t_2 och sätter in n=0 och n= 1 får jag 2,67 och 22,67 men du har inte räknat bara med 2,67 och inte med 22,67 varför!? Och ska man ha båda tiderna med alltså t_1 och t_2?

1. För att cos(x) är en periodisk funktion (en funktion som upprepar sig med en periodtid T) och om du inte har med den termen så får du endast två lösningar. Att det är just 2*pi beror på det är ett helt varv i enhetscirkeln om man mäter vinklarna i radianer och n är antalet varv runt cirkeln, dvs antalet fulla cykler.

2. Därför att periodtiden T här är 20h. Alla nya tidpunkter fås av att veta t_1 och t_2 och sen addera en periodtid till till dem. Därför räcker det att ange
t_1 = 2.68+20*n , n=0,1,2,... och
t_2 = 17.32+20*n, n=0,1,2,...
för att man skall kunna räkna ut alla andra tider också.

Jag rekommenderar att du ritar funktionen (med något lämpligt datorprogram eller grafritande miniräknare) i ett längre intervall, kanske mellan 0 och 10*pi, eller ännu mer om du vill, och ser efter hur den beter sig och var längs grafen dina lösningar ligger så klarnar nog det hela betydligt mer än det gör från att bara titta på förklaringar i text.