Citat:
Ursprungligen postat av
Carliiee
Sitter med en statistikuppgift där svaret på integralen blir 0 eftersom det är ett "symmetriskt intervall och en udda integrand". Jag förstår begreppet symmetriskt intervall (från -a till a, från -0.1 till 0.1 osv), men vad menas med "udda integrand" och hur blir svaret 0?
Antag att f(x) = -f(x) och vi har ett symmetriskt integrationsintervall -R till R. Vi ska visa att isåfall gäller ∫_{-R, R} f(x) dx = 0.
I = ∫_{-R, R} f(x) dx = ∫_{-R, 0} f(x) dx + ∫_{0, R} f(x) dx = I₁ + I₂
Variabelbyte i I₁, sätt x = -t vilket ger dt = -dx.
I₁ = ∫_{-R, 0} f(x) dx = ∫_{R, 0} f(-t) (-dt) = ∫_{R, 0} -f(t) (-dt) = ∫_{R, 0} f(t) dt
Ändrar vi integrationsordningen får vi att I₁ = -∫_{0, R} f(t) dt och vi kan nu byta tillbaka samma variabel vi började med, t = x (spelar såklart ingen roll men för tydlighetens skull).
Alltså, I = I₁ + I₂ = -∫_{0, R} f(x) dx + ∫_{0, R} f(x) dx = 0 och satsen är bevisad.
