Mekanik, gammal tenta

De två tunna homogena stängerna enligt figur har båda
massan m och längden L. De är hopsvetsade så att de
tillsammans bildar en stel kropp som roterar kring z-axeln
med den konstanta vinkelhastigheten ω.
Bestäm systemets rörelsemängdsmoment, H0, med
avseende på ett fixt origo O samt dess kinetiska energi.

Bild:
http://s716.photobucket.com/user/Pit...c160b.jpg.html

Min lösning:
http://s716.photobucket.com/user/Pit...56f04.jpg.html

Mitt problem är den horisontella delen av rörelsemängdsmomentet av stången. Vad har jag missat där ? (Izz och Ixz)

Du saknar alltså bidragen från den övre stången ...

I_xz = ∫ xz dm. Eftersom x och z är konstanta i den övre stången,
x = Lsinθ och z = Lcosθ, får vi

I_xz = ∫ (Lsinθ)*(Lcosθ) dm = mL²sinθ cosθ.

I_zz bestäms lämpligen med Steiners sats (parallellförflyttningssatsen):

I_zz = mL²/12 + md². där d = Lsinθ.

När man ska integrera, vad ska då dm vara ? dm = m/l du ?

Ja, du kan sätta dm = (m/L) du, men det är ”att gå över ån efter vatten”:

I_xz = ∫ (Lsinθ)*(Lcosθ) dm = L²sinθ cosθ * ∫ dm,

∫ dm = m.

Från vilken längd ska man integrera med ?

Kan du precisera frågan?

Jag undrar varför integrationsgränserna inte behöver tas med i det här fallet

Summan av masselementen = totala massan.
Om du vill kan du skriva det så här:

Vad beror det på att man ibland måste använda dm = (m/L)du, och ibland inte ?

Se lösningen på fråga 4 på den här tentan
http://kurswiki.se/tentor/f0008t/091023.pdf

http://kurswiki.se/tentor/f0008t/091023_losning.pdf

och på

http://s716.photobucket.com/user/Pit...f47e5.png.html

I det ursprungliga problemet rör sig T-kroppens övre stång i ett plan på höjden L*cosθ över origo och alla punkter i stången har samma x-koordinat: x = L*sinθ.
http://s716.photobucket.com/user/Pit...c160b.jpg.html

I problem 4 på Mekanik II-tentan sveper stången ut en enmantlad hyperboloid:
http://media.tumblr.com/c89bb90680fd...15H1s1jww5.gif
Rörelsen är alltså annorlunda i det senare fallet och koordinaterna för masselementet beror på läget i stången.