Första ordningens inhomogena differentialekvationer!

Jag har ett problem som jag suttit fast på i flera timmar nu - det är en differentialekvation som ser ut såhär:

y' - 2y = x^2 - 1

Jag har sökt på youtube och annat för att hitta sätt att lösa det, men ingenting rör vid högerled med exponent.
Jag har kommit väldigt nära det rätta svaret (rätt är yp = -(x^2)/2 - x/2 + 1/4, jag har fått -(x^2)/2 - x/2 + 1/2), men jag tror inte att jag har gjort rätt på vägen.

Hjälp väldigt uppskattat!

Ansätt

yp = ax^2 + bx + c

Då är

yp' = 2ax + b

Stoppa in detta i DE så får du några väldigt enkla ekvationer att lösa.

Tack, men jag lyckas fortfarande inte lösa det.

Efter att jag får att y' - 2y = 2Ax + B - 2Ax^2 - 2Bx - 2C vet jag inte vad jag ska göra. Enligt instruktioner ska jag sätta det = HL, vilket funkar bra när det har att göra med förstagradspolynom, men när det gäller andragradare så får jag totalstopp.

Jag brukar tänka ungefär så här:
Om jag ansätter y liknande högerledet, vad ger då y' för termer?
Lägg till liknande termer till ansatsen. (Liknande = samma grad, men annan koefficient.)
Eventuellt repetera senaste stegen.

Exempel:
Högerledet x^2 - 1 generaliseras till ax^2 + b.
Om vi tar y = ax^2 + b, så blir y' = 2ax, dvs vi får en term av grad 1.
Lägg därför till en term av grad 1: ax^2 + b + cx.
Nu ger derivering inga nya typer av termer.

Det generella fallet går till så här att om man har diff ekvationen som ser ut så här

[; y' + f(x)y=g(x) ;]

Så multiplicerar du båda sidorna med [; e^{F(x)} ;] där
[;F(x) = \int f(x) dx ;]

så få du

[; y'e^{F(x)} + f(x)ye^{F(x)}=g(x)e^{F(x)} ;]

Om man då studerar vänsterledet så ser man att det kan skrivas som

[; y'e^{F(x)} + f(x)ye^{F(x)}= \frac{d}{dx}(ye^{F(x)}) ;]

Sätter man de lika med HL så får man
[; \frac{d}{dx}(ye^{F(x)})= g(x)e^{F(x)} ;]

Sen är det bara att lösa ut y vilket ger

[; y = e^{-F(x)} (\int g(x)e^{F(x)} dx + C);]

Bara och stoppa in vad f(x) och g(x) är

C är konstanten man får vid integration

Tack, men jag vet fortfarande inte hur jag ska fortsätta efter att jag har ansatt ekvationen. Jag får en massa termer som jag inte lyckas lösa ut (som jag sa i posten ovan).

Hur går man till väga nu?

@BraH, tack så mycket, men om jag inte missförstår din post så är det ett annat sätt att få fram svaret på (inte den mest lättlästa posten jag sett!), jag skulle gärna fortfarande få veta hur man bär sig åt i sättet ovan!

Den enda okända termen du kommer få är integrationskonstanten C. Den bestäms genom ett randvillkor som borde vara givet annars finns det inte 1 entydig lösning. T.ex. att y(0) = 1 eller nåt...

Edit:
Den sista ekvationen jag skrev
[; y = e^{-F(x)} (\int g(x)e^{F(x)} dx + C);]
är lösningen, det andra är bara härledningen. Så det är bara att stoppa in att [;f(x)=2, g(x)=x^2-1;]

och sedan lösa integralen. [;F(x)=2x;] då också förstås

Lägger stegen i spoilertaggar så du kan klicka fram de olika stegen.
Efter att du ansatt [;y =ax^2+bx+c;] och får [; y'=2ax+b ;] stoppar du in detta i ekvationen, varpå du får
samla ihop alla variabeltermer av samma grad och erhåll
Identifiering av de båda leden ger
vilket har lösningen
detta ger med din ansättning
BraHs lösning innehåller integrerande faktor vilket inte kommer förrän universitetsstudier om jag inte missminner mig. Om du inte kan läsa matematiken vi skrivit, kolla min signatur.

Tack så mycket! Både för LaTeX och för hjälpen med ekvationen, det löste sig!

Nu ser BraHs post inte lika svårläst ut längre, haha, jag undrade lite vad som var fel där..

Tack igen!