Lösa 2:a grads diff.ekv genom variabelbyte

Hej. Har problem med denna uppgift:

Bestäm alla C^2-funktioner y(x) som löser den ordinära diff.ekvationen
x^2 y''(x)+3 x y'(x)-3 y(x) = 5 x^2 , x>0
genom att gå över till variabeln u=lnx

Jag försökte med kedjeregeln för att skriva om y' och y'' men fick inte rätt enligt facit. Hur ska man gå tillväga?

Tack på förhand!

Sätt x(u) = e^u. Då gäller x'(u) = e^u = x(u).
Sätt också z(u) = y(x(u)).

Vi får
z'(u) = x'(u) y'(x(u)) = e^u y'(x(u)) = x y'(x)
z''(u) = (d/du) ( e^u y'(x(u)) ) = e^u y'(x(u)) + e^u x'(u) y''(x(u)) = x y'(x) + x^2 y''(x)

Differentialekvationen kan alltså skrivas
z''(u) + 2 z'(u) - 3 z(u) = 5 e^(2u)

Stämmer detta med facit?

Det stämmer, tack!