Tau vs Pi

På vilket sätt är Eulers identitet ett argument för pi, och inte för tau? e^(i*tau) är det multiplikativa enhetselementet i C, multiplikation med vilket motsvarar rotation ett varv, dvs tau radianer. I min mening är det mycket mer elegant än att säga att e^(i*pi) är den additiva inversen till det multiplikativa enhetselementet, multiplikation med vilken motsvarar rotation ett halvt varv.

Edit: Dessutom är en cirkel definierad utifrån dess radie och inte dess diameter, så att basera cirkelkonstanten på diametern missar poängen med en cirkel.

Fast en cirkels area är ju ännu mindre fundemental för cirkelns definition än dess diameter, som i sin tur är mindre fundamental för cirkelns definition än dess radie.


Jag uttryckte mig nog lite klumpigt, jag menar bara att sambandet mellan θ och τ är tydligare än sambandet mellan θ och π. Återigen är det radianargumentet; att τ är ett helt var och π är ett halvt. Det är egentligen inte fristående argument, så det kanske var dumt att ta upp.


Intressant, det har jag inte riktigt tänkt på. Jag måste nog tänka mer innan jag ger mig i kast med ett svar på det här.


Min poäng är väl snarare att om Euler och kompani inte hade hade populariserat förhållandet mellan cirkelns omkrets och dess diameter, π, som cirkelkonstant i början på 1700-talet, utan istället valt att använda förhållandet mellan cirkeln omkrets och radie, τ, så hade vi förmodligen inte tre hundra år senare haft en rörelse som tyckte att vi egentligen borde använda cirkelkonstanten π istället för τ. Man skall väl iofs aldrig säga aldrig, det finns ju vissa som hävdar ett den mest fundamentala cirkelkonstanten egentligen är η, som motsvarar τ/4.


Jag vet inte, riktigt, och jag orkar inte riktigt sitta och tänka på det just nu, så jag tar väl tillbaka det.


Vad jag menade var bara, är estetik ett självändamål?

Jag menar, om jag hittar på en storhet, vi kan kalla den hassa, som motsvarar en hälften av det vi kallar massa, så blir uttrycket för kinetisk energi mycket snyggare; E_k = hv², och och när jag skall beskriva massan hos någonting så är det ju bara att använda 2h istället. Man multiplicerar ju hellre med 2 här och där än dividerar med 2.

Är det inte bättre att bara använda den mer fundamentala storheten istället, och sen låta faktorerna komma och gå naturligt? Och nej, jag menar inte att π är en storhet, men jag tycker ändå analogin fungerar.

Jag tycker i alla fall att det är en otroligt intressant tråd. Jag har inget att komma med, men jag läser gärna! Keep going!

Ur en ingenjörssynpunkt är pi att föredra eftersom det är betydligt enklare att mäta en cirkels diameter med god noggrannhet än att mäta en cirkels radie.

Att påstå att radien som en mer naturlig egenskap, eller mer fundamental, än diametern är absurdt eftersom den ena alltid definierar den andra och vice versa. Man kan definiera en cirkel både utifrån dess radie och diameter och vilket av dessa alternativ som står i matematikböcker är helt godtyckligt.

Många formler blir "vackrare" med tau istället för pi men det finns också formler som blir vackrare med diameter istället för radie. Till exempel dyker 4*pi*r^2 upp lite varstans i elektromagnetisk fältteori

Vad spelar det för roll?


Det går att entydigt ange måttet på en rektangel utifrån längden på diagonalen och kvoten mellan sidorna, t.ex. 24" 16:9, men är det inte sidornas längd ett mer naturligt mått (om man hanterar annat än bildskärmar )? Är inte en kvadrats sida mer fundamental för kvadratens definition än dess diagonal?

Vad hade du kallat för en enhetskvadrat? En kvadrat med sidan 1 och diagonalen √2, eller en kvadrat med sidan 1/(√2) och diagonalen 1?

Vad hade du kallat en enhetscirkel? En cirkel med radien 1 och diameter 2, eller en cirkel med diameter 1 och radien ½?


För mig handlar det inte om att göra något vackrare eller enklare, men eftersom den typen av argument dyker upp så får man väl bemöta dem.

Anledningen att 4πr² dyker upp i många intressanta sammanhang är för att det är ytan av en sfär. Jag förstår inte riktigt varför 4πr² skulle vara vackrare i sammanhanget än 2τr².

Låt oss kolla lite på några ytor för n-sfärer, uttryckta i π och τ:

n=2 (cirkel)
2π
τ

n=3 (sfär)
4πr²
2τr²

n=4
2π²r³
τ²r³

n = 5
8π²r⁴/3
4τ²r⁴/3

Sambandet uttryckt i π?
För jämna n:
[; Y_n = \frac{(2\pi)^{n/2}r^{n-1}}{(n-2)!!} ;]
För udda n:
[; Y_n = \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}r^{n-1}}{(n-2)!!} ;]

Sambandet uttryckt i τ?
För jämna n:
[; Y_n = \frac{\tau^{n/2}r^{n-1}}{(n-2)!!} ;]
För udda n:
[; Y_n = \frac{2\tau^{(n-1)/2}r^{n-1}}{(n-2)!!} ;]

Jag vet inte vad du tycker, men jag tycker det blir mycket snyggare med τ...

Jag köper inte riktigt det där; jag menar, om man väl fått fram diametern är väl att få fram radien närmast trivialt? Att få en dator att dividera med 2 är ju bara att få den att stryka sista siffran i talets binära representation.

Det är nu vi börjar närma oss pudelns kärna. Estetik är väl i allmänhet ett svårdefinierat begrepp. Ur ett logiskt perspektiv drar man lika stor nytta av värdet på tau såväl som pi: eftersom satserna är ekvivalenta får man samma slutsatser om man adderar tau-satsen eller pi-satsen till någon samling axiom. Därmed är ju den enda skillnaden vad vi matematikens utövare föredrar.

Precis som du säger kan vi ju, istället för pi eller tau, teckna vilken ekvivalent definition vi vill. Tycker jag att 1337π är helt extremt tilltalande kan ju jag använda det som cirkelkonstant istället. De allra flesta skulle nog tycka att det var otympligt, men det skulle inte leda till någon motsägelse vid korrekt definition.

Ur min egen, visserligen mycket begränsade, matematiska erfarenhet tycker jag att π är överlägset τ oftare än vice versa (ur det "estetiska" perspektivet, som i min mening nog är ekvivalent med simplicitet) varför jag sällar mig till skaran π-dyrkare. Självklart medger jag att i just fallet som du visar "arean hos olika n-sfärer" har τ som cirkelkonstant högre simplicitetsfaktor, men jag är fullkomligt dogmatisk i min tro att det egentligen finns en bijektion mellan fallen då π respektive τ är den bättre cirkelkonstanten. (Även om det är omöjligt att härleda alla sanna satser)

Poängen med mitt inlägg var att visa att hela debatten är lite löjlig och att vad som är "bäst" helt och hållet beror på ens eget perspektiv. Du har en poäng om kvadraterna och cirklarna eftersom man nästan alltid definierar en cirkel via radien och rektanglar utifrån sidorna men det är egentligen helt godtyckligt hur man gör sålänge ens definition är ekvivalent med dessa. Enhetscirklen hade kunnat ha diametern 1 med effekten att vissa formler får ändras. Vad jag menar är absurtdt är idén om att det i naturen finns ett objektivt vackrast/naturligast/mest äkta sätt att skriva en matematisk konstant på.

Angående fältteorin så syftade jag på att 4*pi*r^2 kan skrivas som pi*d^2

*häller på lite bränsle på elden*

Jepp, klart man borde ha omkrets/radie istället för omkrets/diameter. Dock är det som det är nu av vane-skäl o folk är vana pi så dom kör på det

Jag anser att Tau är mer naturligt, eftersom det ofta representerar någonting som har inträffat en gång;
ett klassiskt exempel är det här med antalet varv runt enhetscirkeln, där antalet Tau radianer representerar antalet varv.
Det känns vansinnigt att hålla på och sulla med Pi i det fallet, eftersom det utifrån den konstanten är mycket svårare att uppfatta var man befinner sig på enhetscirkeln.
Hur många varv är (3/4)*Pi radianer, liksom?
Den saken framgår ju mycket tydligare om man anger antalet som (3/8)*Tau radianer istället --- tre åttondelars varv, helt enkelt.
Okej, alltså 135°.

Men visst, naturligtvis så kan det vara lämpligt att ersätta exempelvis Tau/2 med ett enkelt Pi om det inte skapar någon onödig förvirring.

Får man lov att dela med sig av lite propaganda i form av en sfärisk video såhär på taudagen?