hjälp med ett induktionsproblem.

Hallå hej!

Jag provade utan framgång i uppgiftstråden men fick inget svar. Så nu gör jag ett nytt försök och hoppas att det går bättre. Har ett litet problem som jag fastnar med i en uppgift som ska visas med hjälp av induktion.
Jag hoppas ni kan läsa och förstå problemet eftersom jag inte har kunskap att skriva det med hjälp av latex koder eller med annan matematisk text så att det blir enklare.

Fråga gärna om det är några oklarheter!

Problem:
Följden a0, a1, a2... ges rekursivt av att a0=4 och att an+1=2an-an^2
för n>=0. Visa med induktion att för n>=1 gäller an=1-3^2^n .

Lösning
Börjar med att kolla om det stämmer med ett basfall.
Jag börjarmed att räkna ut från första formeln. n=0.
Vilket ger a1=-8
Nu räknar jag med den andra formeln och kollar om det blir lika.
a1=1-3^2^1=-8. Det var samma alltså ok!

induktionsantagande.
an=1-3^2^n

Implikationsantagande.
n=k
P(k)-->P(k+1)

Så nu vill jag visa att.
ak+1=1-3^2^k+1

Och här fastnar jag, tacksam för all hjälp jag kan få.

Tack!

Att skriva an+1 är flertydigt. När du inte kan skriva nedsänkta tecken kan du använda parenteser, precis som vore det en funktion (och det är faktiskt en funktion vars definitionsmängd är de naturliga talen):
a(0) = 4
a(n+1) = 2 a(n) - a(n)^2

Nu kan jag förklara flertydigheten enklare:
Står "an+1" för a(n+1), a(n) + 1 eller är det kanske en multiplikation av en konstant a med talet n och sedan addition med 1?


Menar du a(n) = 1 - 3^(2^n) ?
Observera att till skillnad från + och * är inte ^ associativ. Det gäller att (x+y)+z = x+(y+z) och (x*y)*z = x*(y*z). Därför kan vi skriva x+y+z och x*y*z utan tvetydighet. Men det gäller inte generellt att (x^y)^z = x^(y^z) och därför bör vi använda parenteser om vi inte gör tydligt att vi låter ^ vara högerassociativ dvs låter x^y^z betyder x^(y^z).


Induktionsantagande, inte implikationsantagande.

a(k+1) = { enligt rekursionsekvation } = 2 a(k) - a(k)^2
= { enligt induktionsantagande } = 2 (1 - 3^(2^(k+1))) - (1 - 3^(2^(k+1)))^2
= (2 - 2*3^(2^(k+1))) - (1 - 2*3^(2^(k+1)) + 3^(2*2^(k+1)))
= 1 + 3^(2^(k+2))

Tack!!!

Varför får jag det sista att bli =1+3^(2^(k+2)) vill vi inte få det att bli = 1+3^(2^(k+1)).
För det är väl det vi vill visa?

Ska jag inte istället använda formeln, a_k = 1- 3^2^k, och inte 1- 3^2^(k+1)?

Det har du rätt i. Av någon anledning fick jag för mig att formeln som skulle visas löd a(n) = 1 - 3^(2^(n+1)).

Problem
Följden [;a_{0},a_{1}, a_{2},... ;]ges rekursivt av att [;a_{0}=4;] och att [;a_{n+1}=2a_{n}-{a_n{}}^{2};] för [;n\geq 0;]. Visa med induktion att för [;n\geq 1;] gäller [;a_{n}=1-3^{2^{n}};].


Lösning:
Vi börjar med att kolla om detta stämmer med ett basfall.
Jag börjar med att räkna ut från första formeln. n=0
[;a_{0+1}=2\cdot 4-4^{2}0-8, a_{1}=-8;]
Nu räknar vi med hjälp av den andra formeln och ser om det blir samma, n=1.
[;a_{1}=1-3^{2^{1}}=-8;] det var ok!

Induktionsantagande.
[;a_{k}=1-3^{2^{k}};]
dvs vi antar att formeln [;a_{n}=1-3^{2^{n}};] stämmer för ett specifikt heltal k.

Så det vi gör nu är att visa om [;a_{n}=1-3^{2^{n}};] stämmer för n=k så stämmer det för n=k+1
n=k
[;P(k)\Rightarrow P(k+1);]

Alltså vet vi per definition att
[;a_{k+1}=2a_{k}-{a_k{}}^{2};]
och att enligt induktionsantagandet
[;a_{k}=1-3^{2^{k}};]
Och nu ska jag visa att
[;a_{k+1}=1-3^{2^{k+1}};]
Enligt rekursionekvation är det lika med
[;a_{k+1}=2a_{k}-{a_k{}}^{2};]
Sen enligt ind.ant är det lika med
[; = 2(1-3^{2^{k}})-(1-3^{2^{k}})=(2-2\cdot 3^{2^{k}})-(1-2\cdot3^{2^{k}}+3^{2\cdot 2^{k}} )=1+3^{2\cdot 2^{k}} ;]

men jag kommer ju inte fram till mitt svar! Behöver hjälp. Har suttit med det här problemet allt för länge nu. Tacksam för all hjälp jag kan få.

Det gör du ju, sista termen skriver du om till [; a_{k+1} = 1-3^{2\cdot 2^{k}} = 1-3^{2^{k+1}} ;]

Men jag vill ju visa att det ska bli [;=1-3^{2^{k+1}};] eller hur? har jag fel?

Det har du rätt i, ursäkta att jag inte såg det. Men det är ett teckenfel i sista uträkningen. Kika över sista raden igen. Så det stämmer, förutom teckenfelet.

Nu ser jag tusen tack!