Bevis för Gränsvärdet x/ln(1+x)=1 när x -> 0

Ah, observant. Missade detta. För att visa ln(1+x) ≥ x/(x+1):

Definitionen av ln(x) tas vanligtvis som den bestämda integralen över [1,x] av 1/t. Detta är en rimlig definition om vi vill att logaritmen skall ha egenskapen som antiderivatan av 1/t.

ln(x+1) blir således den bestämda integralen på [1,x+1] av 1/t. För att göra en underskattning av denna integral tas minimum av 1/t på intervallet multiplicerat med intervallets längd. Minimum av 1/t på [1,x+1] är 1/(x+1) ty funktionen är strängt avtagande. Intervallets längd är x. En underskattning av ln(x+1) blir alltså x/(x+1), d.v.s.

ln(1+x) ≥ x/(x+1)

Vanligtvis brukar vi lära oss att ln är inversen av exp, och med den definitionen blir olikheten inte lika direkt.

Givetvis har du rätt. Men det är inte helt icke-standard att definiera logaritmen som ovan. (Wikipedia, WolframMathworld)

Det vet jag. Det är inte helt ovanligt i matematiken att man först definierar en sak på ett sätt. Sedan finner man vissa egenskaper och väljer att definiera om via någon egenskap. (Än vanligare är att utöka definitionen via någon egenskap.)

I det här fallet:
Gamla definitioner: exp(x) = e^x, där e definieras så att exp'(0) = 1; ln = exp^(-1).
Funnen egenskap: ln(x) = ∫_1^x 1/t dt.
Nya definitioner: ln(x) = ∫_1^x 1/t dt, och exp = ln^(-1).

Tackar, tackar!