Bevis för Gränsvärdet x/ln(1+x)=1 när x -> 0

Tjena! Någon som vet hur man bevisar gränsvärdet x/ln(1+x) = 1 när x -> 0? Det skulle uppskattas!

lim x -> 0 x/ln(x+1)

L'Hôpitals regel:

lim x -> 0 (d/dx x)/(d/dx ln(x+1))
lim x -> 0 1/(1/(x+1))
lim x -> 0 x+1 = 1

Tack! Finns det fler sätt att bevisa detta på? Det är tydligen ett ganska viktigt standardgränsvärde.

Här är ett snyggare bevis, inte säker på att L'hospital räknas som ett seriöst bevis.

http://www.enotes.com/homework-help/verify-limit-ln-1-x-x-1-x-gt-0-247020

Det var ett snyggt bevis du länkade. Icke desto mindre tror jag att tillämpa L'Hospitals regel räknas som bevis, men, som du själv säger, kanske inte tas lika seriöst.

Om ni vill ha ett seriöst bevis, se till att formulera det med ε och δ.

Förslagsvis så börjar du med att bevisa l'Hopital's formel och att denna alltid kan användas i detta fall. Sen använder du den. Om man tar det andra förslaget i http://www.enotes.com/homework-help/...-x-gt-0-247020 så borde det också gå om man säger att X/ln(X+1) = (ln(x+1)/X)^-1. Upphöjt i minus ett gör ju varken till eller från. Det bygger dock på att man visat (eller kan visa) att gränsvärdet lim x -> (X+1)^(1/x) -> e.

Det är inte giltigt att använda L'hospitals regel för att bevisa detta gränsvärde. I härledningen av derivatan av logaritmfunktionen används just det gränsvärde som önskas bevisas. Eftersom man använder denna derivatan i L'hospitals regel blir beviset ett cirkelbevis, man förutsätter det som skall bevisas.

RobinHoltz bevis är giltigt, dock förutsätter det att man förstår gränsvärdet (1+x)^(1/x).

Ett litet mer elementärt sätt är på följande vis. Notera att

ln(1+x) ≤ x

som följer direkt ur definitionen av logaritmfunktionen. På liknande vis följer direkt ur logaritmfunktionens definition att

ln(1+x) ≥ x/(x+1)

Dessa båda olikheter gäller för x > -1. Betrakta nu sammansättning av olikheterna

x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x

Dividera båda led med x

1/(x+1) ≤ ln(1+x)/x ≤ 1

Låt x → 0 och använd instängningssatsen

1 ≤ ln(1+x)/x ≤ 1

Alltså är gränsvärdet 1, vilket skulle visas.

L'Hopitals är cirkelresonemang i detta fall. För:
[; \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \left.\frac{d}{dx}\ln(x)\right|_{x=1} ;]
För att visa att [;\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} ;] behöver man just gränsvärdet som TS frågar efter.

Detta förstår jag inte riktigt.

Är det något specifikt som är oklart? Bevisidén är alltså att konstruera två olikheter för uttrycket vars gränsvärde du söker och sedan använda instängningssatsen.

Han har fetmarkerat olikheten ln(1+x) ≥ x/(x+1), så jag antar att det är denna som han inte förstår var den kommer från.