Latinska kvadrater.

I ett kapitel i min kurslitteratur säger man att för varje m => 2 kan man definiera en m x m "matris" genom att låta elementet i rad (i) och kolumn (j) vara:
L(i, j) = i + j där (i,j ∈ Z_m)

För varje m => 2 ger även detta upphov till en latinsk kvadrat, dvs varje element L(i, j) förekommer precis en gång i rad (i) och kolumn (j). Att det ger upphov till en latinsk kvadrat visar man genom:

Vi antar att symbolen på position (i,j) är densamma som symbolen på position (i,j´) då har vi:

(1) i + j = L(i, j) = L(i, j´) = i + j´

Sedan säger man att Z_m innehåller ett element -i, om vi adderar -i till båda led i (1) får vi att j = j´.
Beviset fortsätter lite till, men just här fastnar jag. Jag förstår inte hur Z_m kan innehålla ett element
-i? Alla element av Z_m = { [0]_m, [1]_m......[m-1]_m } och eftersom m är ett positivt heltal för Z_m (följer av definitionen av Z_m?) så gäller att inget element i Z_m kan vara negativt?

Vad är egentligen elementen av Z_m? Är det 0,1,2.....(m-1),(m-1)? Eller är det alla element i var och en av [0]_m, [1]_m......[m-1]_m? I sådana fall finns negativa element och varför skulle -i vara ett sådant element i Z_m?

Elementen är själva ekvivalensklasserna, [0]_m, [1]_m, ... [m-1]_m. Ekvivalensrelationen är a ~ b <=> m | (a-b) där | betyder "delar". Det går att definiera en naturlig addition genom

[a] + [b] := [a+b]

som inte beror på valet av representanter a och b, eftersom [a] = [a'] => a' = a + km för något heltal k, så

[a'] + [b'] = [a'+b'] = [a + km + b + lm] = [a+b]

ty [a+b + (k+l)m] = [a+b].
Notera nu att till exempel [-1] är ett element av Z_m: [-1] = {..., -1-m, m-1, 2m-1, ... }. Och det är så att [-1] + [1] = [m-1] + [1] = [m] = [0].

Det är lite fel att prata om element i Z_m som negativa men man kan prata om inverser. Om [k] \in Z_m så finns ju också [-k] \in Z_m och [k] + [-k] = [0]. Om man låter -[k] betyda [-k] är alltså uttryck som [l] + (- [k] ) eller [l] - [k] väldefinierade.

Jag har mycket att ifrågasätta gällande ditt svar. Du pratar om inverser i Z_m och om jag förstår dig rätt, så hävdar du att om [k] ∈ Z_m så gäller även att [-k] ∈ Z_m, och eftersom [k] + [-k] = [0] fölljer att [-k] är inversen till [k]? Om du menar såsom jag tror du menar så undrar jag om din definition av en invers är ekvivalent med definitionen:

"Ett element i x i Z_m sägs vara inverterbart om det existerar ett r i Z_m sådant att x*r = 1 i Z_m, elementet r sägs då vara inversen till x".


Rätta mig om jag har fel. ifall [k]_m ∈ Z_m, där [k]_m är en ekvivalensklass som består av alla x som är kongruenta med k mod(m) (eller ekvivalent, [k]_m består av alla tal x´som uppfyller att x´- k är delabrt med m), så gäller att även [k + vk]_m ∈ Z_m för något heltal v, eftersom
[k + vk]_m = [k]_m . Speciellt gäller det för v = -2, Dvs om [k]_m ∈ Z_m så följer att [-k]_m ∈ Z_m

Återgång till vårt ursprungliga problem ger, om [i]_m ∈ Z_m så följer att [-i]_m ∈ Z_m. Stämmer det?

Nä, det där är den multiplikativa inversen. sp3tt pratade om den additiva inversen.

Har inte stött på någon definition om den additiva inversen, och heter den verkligen inversen? Har du någon definition?

Angående mitt senaste inlägg, där jag börjar "rätta mig om jag har fel", bespara dig den tiden. Jag är fortfarande inte övertygad om att [-1] är ett element av Z_m. Du säger "notera", hur menar du notera?

[-1] = [m-1], dvs -1 och m-1 ingår i samma restklass och båda kan användas för att denotera den.

Tack. Herregud att det tog sådan tid, man ska inte plugga på nätterna.

Låt [; \star : X \times X \to X;] vara en binär operation på mängden X. Antag att det finns ett [; e \in X;] så att [; x \star e = e \star x = x ;]. Då kallas e för enhetselementet (eller enheten). Om det gäller att [; y \star x = e;] säger vi att y är en invers till x. I fallet med Z_m är [;\star ;] en addition, så vi säger additativ invers. Det är för att man kan också kan definiera en multiplikation på Z_m, och då kommer multiplikativ och additativ invers inte vara samma sak. Den första behöver inte ens existera om m inte är ett primtal.
Jo ekvivalensrelationen a ~b <=> m | (a-b) är en relation på heltalen. Det betyder att varje heltal hamnar i någon ekvivalensklass. [-1] är alla tal som är ekvivalenta med -1. Det är åtminstone -1, men det är faktiskt också -m-1,, m-1, 2m-1 och så vidare också. Alla dessa ger ju samma rest när de delas med m, eller hur?
Det ska man visst, det är då man får de bästa idéerna! (Alla är väl olika, men det funkar för mig!)