Hjälp med Einsteins fältekvationer!

Jag har fått frågan varför höger och vänsterled, individuellt, i Einsteins fältekvationer (dvs T och G) borde vara tensorer av rang 2. Någon som har något vettigt svar på detta?

Googla Einsteins summakonvention

Den är jag väldigt bekant med, såklart. Vad är kopplingen?

Jag ska kanske klarifiera att jag letar efter fysikaliska argument till att kurvaturdelen och energidelen av ekvationen ska vara rang 2-tensorer.

Du ser att kurvaturdelen innehållet termer av metriktensorn g. Denna beskriver hur "avstånd" (i kvadrat) skall beräknas, som ju i princip ges av kvadratiska uttryck med de olika dimensionerna, gxx*dx*dx, gxy*dx*dy, gyy*dy*dy etc. Eller mer kompakt: ds*ds = gij*dxi*dxj. Därav framgår varför den metriska tensorn g måste vara rang-2.

Utan att vara specialist inom området, tror jag att detta är skälet till att rang-2-tensorer är så viktiga inom relativitetsteorin. Och om V.L är rang-2 så är förstås även H.L (energidelen) rang-2.

Hoppas du har överseende med att jag inte använt "subscripts".

Tack för svaret! Det var något åt det hållet jag svävade åt själv. Och jag förstår din notation, inga problem.

Ett sätt att se det är att Einsteins fältekvationer är rörelse-ekvationerna för metriken, vilka man får genom att variera verkan med avseende på metriken. Och eftersom metriken är en andra ordningens tensor kommer variationen ge en ekvation med andra ordningens tensorer.

Det är en intressant fråga. Om Riemann tensorn beskriver geometrin och är av fjärde rank.. hur kan då materia tala om hur rummet ska kröka sig med mycket färre frihetsgrader?
Som tur är så är det inte så illa som det låter. Riemann har fler frihetsgrader men inte många fler pga alla dess symmetrier och antisymmetrier. De som blir över är inte särskilt fysikaliska utan jag brukar tänka på dem som parametrar som vi väljer i samband att vi väljer en koordinatkarta.

Har för mig att Riemann-tensorn har 20 oberoende frihetsgrader i 4D, right?
När vi försöker konstruera ett globalt Lorentz-system så blir det ju i alla fall 20 nollskilda andraderivator över.