Diskriminant och ekvationslösning

När man ska lösa en tredjegradsekvation så vet jag att det kan vara en fördel att räkna ut diskriminanten innan man väljer vilken lösningsmetod man ska använda. Frågan är om detta gäller även för andragradsekvationen och fjärdegradsekvationen?

När det gäller andragradsekvationen så tycker jag att det känns lite krystat att först räkna ut diskriminanten som är talet under rottecknet i lösningsformeln, men å andra sidan så finns det ju andragradsekvationer som inte går att lösa med den vanliga lösningsformeln. Till exempel om talet under rottecknet är 4+2i.

Fjärdegradsekvationen har en allmän lösning. Det är möjligt att användandet av den lösningen går att förenkla om man först räknar ut diskriminanten, men detta är jag osäker på.

Vad har ni för tankar och funderingar om detta?

Okej jag bryter ned det så gott jag kan:

Andragradsekvationer på formen ax^2+bx+c=0 där a,b,c är reella kan alltid lösas med kvadratkomplettering/kvadratiska formeln.

Tredjegradsekvationer KAN lösas exakt med Cardanos formel men det är alltför omständligt och bökigt för att tillämpas i praktiken. Vill man ha exakta lösningar så kan man gissa rötter och använda faktorsatsen samt polynomdividera för att erhålla en andragradsekvation. Sen finns det naturligtvis trick som i sällsynta fall kan användas(ex. trigonometriska identiteter). Är man inte intresserad av exakt noggranhet så kan man alltid använda en numerisk metod, ex. Newtons metod.

Samma gäller för fjärdegradsekvationer, dock med en lösningsformel som är än mer omständlig. Likaså är diskriminanten för en fjärdegradsekvation alltför jobbig att beräkna(24 termer tror jag det är).

Diskriminanten har jag faktiskt aldrig använt för att lösa ekvationer. Men visst, om diskriminanten visar sig vara noll så har man ju fått lite hjälp där. Diskriminanten har jag främst använt när man har en reell parameter i ekvationen som skall bestämmas tillsammans med något känt villkor.

Ex: Bestäm vilka värden på a som ekvationen har reella lösningar om ax^2+2x+9=0.

Jag har försökt att lösa tredjegradsekvationer med hjälp av Cardanos formel. Jag gjorde så att jag skapade en tredjegradsekvation med bara heltalslösningar med hjälp av Faktorsatsen. Sedan så använde jag Cardanos formel. Jag hade väntat mig att allting skulle fall ut snyggt. Istället så visade det sig att jag fick ett rotuttryck som var svårt att förenkla/evaluera.

Det finns en annan metod för att lösa tredjegradsekvationer där man använder Vietas substitution. Den har jag dock aldrig provat att använda i praktiken, men den har ett enkelt bevis.