Hypotestest - måste inte hypoteserna vara tillsammans uttömmande?

Min fråga rör statistik, om den gör sig bättre i något annat forum så får någon moderator gärna flytta tråden.

Om vi kör ett experiment för vilket utfallsrummet är alla reella tal inom ett givet intervall, måste då inte unionen av mängden av alla x som har den egenskap som nollhypotesen anger och mängden av alla x som har den egenskap som den alternativa hypotesen anger vara densamma som mängden av alla reella tal inom det givna intervallet?

För att exempliera:
Antag att x kan anta alla reella tal inom ett slutet intervall vars undre gräns är mindre än noll och vars övre gräns är större än noll.
Om H0 säger att x=0,
Så måste väl Ha säga x<0 eller x>0? Att bara presentera en av dessa olikheter som alternativ hypotes hade väl varit otillräckligt, eller?

Då jag har stött på flera hypotestester där så inte har varit fallet så hade jag uppskattat om någon kan förklara hur det faktiskt ligger till.

Varför skulle det vara otillräckligt? Man vill ju oftast testa något med hypotestest. Till exempel.

Du och jag spelar tärning med varsin tärning, jag tycker att du får mer 6: or än vad du borde. Jag vill bevisa detta med ett hypotestest, där jag tar H0: p=1/6 eftersom du säger att sannolikheten att få en 6:a är 1/6, min alternativa hypotes blir Ha: p>1/6 eftersom jag vill påvisa fusk och allt jag kan göra är att förkasta nollhypotesen.

Det finns ju andra fall då man är intresserad av tvåsidigt hypotestest, typ om man ska mäta pH i en sjö.

Jag vill mena att din nollhyoptes bör vara p=1/6 eller p<1/6 för ett ensidigt test, då vi annars riskerar att få ett utfall som faller utanför båda hypoteserna.

beror inte det på vad man testar mot? Jag ska vara ärlig, det var länge sedan jag läste matstat, så jag vet inte och orkar verkligen inte gräva fram gammal literatur. Men min intuition säger mig att det är meningslöst att testa för saker man inte är intresserad av.

Ta tärningsexemplet, du tycker dig ha observerat att fler sexor än normalt har blivit slagna, du är alltså intresserad av om fallet antingen är normalt eller för många sexor, du struntar ju i om det är för få.

Det kan alltså bara bero på ren lathet att hypoteserna inte inkluderar alla möjliga utfall.

Men tittar du på sannolikhetsfördelningen så måste väl de värden som faller under det värde du vill testa för falla under någon av hypoteserna? Jag har antagit att det bara var en förenklat sätt att skriva, men jag förstår inte riktigt tanken med att göra det. Hur skulle du alls kunna nyttja en sannolikhetsfördelning om det finns en sannolikhet för ett utfall som du inte testar för?

Jaha, jag förstår vad du menar, men så är det ju aldrig i praktiken. Mängderna som hypoteserna representerar är alltid disjunkta (vore idiotiskt annars) och dessutom måste du ju bilda hypoteserna på sådant sätt att de bildar ett intervall i fördelningen. Exempelvis:

Låt oss anta att något följer normalfördelningnen med v.v. my och spridning sigma; vi tror att v.v är X men har observerat att det kan vara X+Y, då testar vi:

H0: my = X+Y
H1: my < X+Y

och struntar i att testa my > X+Y, då har vi ju täckt in ena sidan av normalfördelningen, och den sista delen är inte relevant att testa.

(Förmodligen uselt exempel, men du fattar kanske?)

Det är nog mest sättet att formulera hypoteserna som stör mig; implicit i ditt exempel är ju att H0 även inkluderar möjligheten att my är större än X+Y (förstår inte riktigt varför det är detta du vill testa om vi ser till hur experimentet är beskrivet, men det spelar mindre roll). Vi utnyttjar ju symmetrin kring medelvärdet för att beräkna sannolikheten sen ändå, men formellt borde väl hypoteserna inkludera alla möjliga utfall?