t = tan x/2, vad är cos x?

t = tan x/2 visa att cos x = (1-t^2) / (1+t^2)


tänkte att de borde vara något med dubblavinkeln för tangens men vad gör man sedan?


tan x = 2t / ( 1-t^2 )

men hur fortsätter jag nu?

wolfram bretheren,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=t+%3D+tan+x%2F2

Hur menar du att detta hjälper TS?

Först konstaterar vi formeln för cosinus för dubbla vinkeln i princip säger cos(x) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) (*).

Sen så löser vi ut sin(x/2) respektive cos(x/2) från förhållandet t = sin(x/2)/cos(x/2) och sätter in detta i trigonometriska ettan:

t*cos(x/2) = sin(x/2) => (t*cos(x/2))^2 + cos^2(x/2) = 1 dvs cos^2(x/2) = 1/(1 + t^2).

sin(x/2)/t = cos(x/2) => (sin(x/2)/t)^2 + sin^2(x/2) = 1 dvs sin^2(x/2) = 1/(1 + 1/t^2) = t^2/(1 + t^2).

Sätter vi in detta i (*) får vi att cos(x) = 1/(1+t^2) - t^2/(1 + t^2) = (1 - t^2)/(1 + t^2).

Variant ...
Geometri i enhetcirkeln (rita figur!):
AC horisontell diameter med mittpunkt O (cirkelcentrum), A höger ändpunkt.
Avsätt vinkeln AOB = x. Randvinkeln ACB står på samma båge (AB) som AOB,
dvs vinkeln ACB = x/2.

Dra normalen BD mot OA. Vi får: DB = sin x, OD = cos x
och enligt figur:

t = tan(x/2) = DB/CD = sin x / (1 + cos x).

Kvadrera och utnyttja trigettan, sin²x = 1-cos²x = (1-cosx)(1+cosx),

t² = (1-cos²x) / (1+cosx)² = (1 - cos x) / (1 + cos x).

Lös ut cos x:

cos x = (1 - t²) / (1 + t²).

Figur: http://img706.imageshack.us/img706/1244/halfx2.png