Analysproblem Maclaurin och differentialkalkyl

1) Låt f(x) = E^(3x) - cos(4x). Då f(x) är strikt växande kring origo kan vi därför definiera inversen F^-1(y). Beräkna MacLaurin-polynomet av grad 2 till F^-1(y).

Hittar ingen lämplig invers.

2) Lös den partiella differentialekvationen f'y-14f'x=0 med bivillkoret f(0,x) =4/(1+6x^2)genom att införa de nya variablerna u = x +7y^2 och v=y

Antar att du med "E^(3x)" menar "e^(3x)" och "f^(-1)" när du skriver "F^-1".

Problemet är just att du inte kan få fram ett elementärt uttryck för inversen. Däremot går det att derivera funktionen ändå. Om vi för enkelhets skull betecknar inversen med F får vi:
F'(y) = 1/f'(x), där y = f(x).

Andraderivatan blir:
F''(y) = (d/dy)F'(y) = (d/dy)(1/f'(x)) = (d/dx)(1/f'(x)) * dx/dy
= -f''(x)/f'(x)² * 1/f'(x) = -f''(x)/f'(x)³.

Eftersom
f(x) = e^(3x) - cos(4x)
f'(x) = 3 e^(3x) + 4 sin(4x)
f''(x) = 9 e^(3x) + 16 cos(4x)
får vi därför
F(0) = 0
F'(0) = 1/7
F''(0) = -25/7³

MacLaurinpolynomet av grad 2 blir alltså
p(y) = F(0) + F'(0) y + (1/2) F''(0) y² = 0 + (1/7) y + (1/2) (-25/7³) y²

Det blev inte rätt

Jag tror att dem menar inversen så att F^-1(x) = g(x) så att F(g(y)) = F(x)

Har du facit?

Konstanta termen 0 samt koefficienten 1/7 framför y borde vara rätt. Koefficienten framför y² kanske är fel.


Jo, jag vet vad som menas med invers av funktion.

Nej, nu ser jag. Eftersom sin(0) = 0 blir f'(0) = 3.

Vi får p(y) = (1/3) y + (1/2) (-25/3³) y².