Mekanik - Dynamikfråga

Hej!

Jag undrar om det är någon som kan hjälpa mig med en uppgift här. Jag skojar inte när jag säger att suttit på samma stol sen klockan 13:00 idag hemma och försökt lösa den. Gissa om jag är frustrerad.

En hoppare når nätt och jämnt vattenytan vid så kallad "bungee jump" från en bro med höjden h. Längden på den elastiska linan uppmäts till L(1) i det slutliga läget då alla sväningar har klingat av. Bestäm:

(a): Den elastiska linans naturliga längd l(0)
(b): Hopparens maximala fart v(max)
(c): Hopparens maximala acceleration a(max)

Ledning: Om v = v(max) är a = 0, då summan av krafterna på hopparen är noll. Vidare, a = a(max) då summan av krafterna på hopparen är maximal.

Svar:
l(0) = sqrt(h(2*l(1)-h)
v(max) = sqrt(g(l(0) + l(1)))
a(max) = (h-l(1))/(l(1)-l(0))*g

Jag har suttit och glott boken fram och tillbaka och lyckas verkligen inte lösa denna. Lite hints eller lösning hade uppskattats starkt!

Tackar

Vi antar att hopparen, med massan m, rör sig lodrätt nedåt med försumbara energiförluster.
Låt linan ha fjäderkonstanten k och osträckta längden b = l(0).
Sätt L = L(1), linlängd i jämviktsläget.
När hopparen är i jämvikt gäller alltså: k(L-b) = mg, vilket ger

mg/k = L-b ... (1).

Mekanisk energi för hoppare med lina:

E = ½mv² + ½kx² - mg(x+b),

där v = dx/dt och koordinaten x räknas från ospänt läge.
E = konst = 0 pga valet av nollnivå (vid bron) för lägesenergin.

I nedre vändläge är v = 0 och x+b = h. Energisambandet ger då
½k(h-b)² - mgh = 0. Med hjälp av ekv (1) fås

(h-b)² = 2mgh/k = 2h*(L-b),
h² - 2hb + b² = 2hL - 2hb,
b² = 2hL - h² = 2h(L-h).

Alltså,

b = l(0) = sqrt( 2h(L-h) ).

Enklare att bestämma v_max och a_max.
Gör ett försök!

Tack så mkt aa de andra två är inte så svåra