Avancerat problem i kursen differentialekvationer.

Hallå alla snillen!
Sitter på en knepig uppgift som lyder enligt följande:

Bestäm först produktlösningarna till den partiella differentialekvationen
d^2u/dx^2 =729du/dt
Bestäm de lösningar som även uppfyller randvillkoren u(0,t) =u(pi,t) = 0.
Bestäm därefter den lösning som även uppfyller begynnelsevillkoret:
a) u(x,0) = 36sin(27x) + 45sin(81x) , 0 < x < pi.

b) u(x,0)=g(x)=1+x/9 , 0 <x<pi.
Blir tacksam för svar

Ansätt u(x, t) = X(x) T(t).

Sätt in i ekvationen: X''(x) T(t) = 729 X(x) T'(t).

Dividera med X(x) T(t): X''(x)/X(x) = 729 T'(t)/T(t).

Då vänsterledet beror av endast x och högerledet av endast t måste båda led vara konstanta:
X''(x)/X(x) = λ
729 T'(t)/T(t) = λ

Ekvationerna för X och T blir alltså:
X''(x) = λ X(x)
729 T'(t) = λ T(t)

Kan du lösa dessa ordinarie differentialekvationer?

Stort tack för lösningsförslaget!
Ansatte det du skrev och jobbar på med randvillkor och begynnelsevärdesproblemen

Tänk på att X''(x) = λ X(x) har flera familjer av lösningar, så länge man inte har tagit med randvillkoren. Vad händer om λ > 0, λ < 0, λ = 0?

Ett annat sätt är att pröva med fourier- eller laplacetransformering. Nu har jag inte papper och penna tillgängligt men det borde fungera med de rand/begynnelsevillkor du har.

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator