hjälp med den VG fråga matte 2b

För vilka värden på p saknar ekvationen nedan reella lösningar?

px^2 + 4x + 6 = 0

förklara hur kan man svara på den fråga

p > 1

Jag skriver om ekvationen som ax^2 + 4x + 6
För att inte blanda ihop bokstäverna med varandra
4 = p
6 = q

Använd lösningsformeln :

x = - p/2 +- √(p/2)^2 -q

Det står då x = -4/2 +- √(4/2)^2 -6 --> x = -2 +- √-2

Kravet för att använda formeln är att a = 1.

Det går inte att lösa roten ur ett negativt tal reellt. Alltså saknar den en reell lösning. Och i detta fallet var a = 1

Om 4x+4+3-1 är större än px^2 så saknar det rella lösningar

Lös olikeheten

px^2<4x+6 (edit satte > åt fel håll)

px² + 4x + 6 = 0
x² + 4x/p + 6/p = 0
Kvadratkomplettering. (x + 2/p)² - (2/p)² = x² + 4x/p
(x + 2/p)² -4/p² + 6/p = 0
(x + 2)² + (1/p)(6-4/p) = 0
(x + 2)² = (1/p)(4/p - 6) (Observera att jag multiplicerade sista parentesen med minus ett)
x+2 = +- sqrt((1/p)(4/p - 6))

Detta har en lösning om det som står innanför sqrt(...) är icke-negativt, vilket är fallet om båda parenteserna är icke-negativa eller om båda är negativa.

1/p är positivt om p>0
Vi kikar på den andra parentesen som är något klurigare.

4/p-6>0
4/p>6
4>6p (Enbart ok om p>0)
2/3>p

Vi kan lätt se att om p<0 så kommer även 4/p - 6 vara mindre än noll, eftersom vi då subtraherar ett positivt tal (6) från ett negativt (4/p).

(1/p)(4/p-6) kommer alltså att vara positivt om 0<p<2/3, och då har ekvationen reella lösningar. Observera att om p=2/3 kommer (4/p-6) att vara lika med noll, och även då har ekvationen reella lösningar.

(1/p) och (4/p-6) är båda negativa om p<0, och således har ekvationen även reella lösningar även då.

En sak som återstår är att undersöka då p=0. Detta leder till ekvationen 4x + 6 = 0 som har en reell lösning.

Svaret är alltså att reella lösningar saknas om p<0 eller p>2/3.
Fel. Reella lösningar saknas om p>2/3.




EDIT:
Jag tror jag har gjort ett slarvfel någonstans...



EDIT2:
Det hade jag. Se fetmarkerat.

Det stämmer visserligen att det inte finns reella lösningar om p>1, men det är inte en godkänd lösning.

px^2+ 4x+ 6=0
(px+ 3)(x+ 2)=0
px+ 3=0
px=-3
p=-3\x
eller x+ 2=0
x=-2
p=-3\-2
p=3\2
vad tror ni det är rätt eller fel?
tack for alla

Nej, det där såg dessvärre helt fel ut från början till slut. Eller rättare sagt ser (px+ 3)(x+ 2)=0 helt fel ut. Var fick du det ifrån?

Du säger första att det gäller för p>1 sen antar du att p = 1, detta är inte korrekt utfört.
Man kan ju oxå skriva den som:
x^2 + 4x/a + 6/a = 0 och använda pq formeln
x = -4/(2a) +- sqrt( (4/(2a))^2 - 6/a )
för inga reella lösningar så skall 4/(2a))^2 - 6/a < 0 dvs
16 - 6*4a < 0 dvs 2/3 < a

px^2 + 4x + 6

För att göra pq ska p = 1. Därför dividerar vi allt med p

x^2 +4x/p + 6/p --> Nu gör vi pq # Någonstans ovan finns formeln skriven.

-(4/2p) +- (-(4/2p)^2 - (6/p))^(1/2) # Här kan vi förkorta 4x/2p = 2x/p

-(2/p) +- (4/(p^2)-6p)^(1/2) # För att uttrycket ska bli icke-reelt måste roten uttrycket bli negativt och det blir negativt för 6p > 4/(p^2)

Då ställs ekvationen --> 4/(p^2) = 6/p --> 4p = 6p^2 --> 6p^2-4p --> p(6p-4) --> För p = 2/3 är de lika stora. Då är det bara att testa tal som är antingen större eller mindre än 2/3 för att komma fram till att svaret blir x > 2/3.
Är du säker på att det är VG-fråga :S i Gy11 är det än E fråga.