Hjälp, egenvärden till A (rotation kring linje i R^3)

Behöver hjälp men en uppgift...!

Uppgift: Låt A vara den 3x3 matris som svarar mot pi/3 graders (moturs)rotation kring linjen L som har riktningsvektor v=(6, 5, 9)^T. Avgör alla reella egenvärden till A.

Min ansats:

(1) Försöker göra ett basbyte: normaliserar v d.v.s:

v1 = v / ||v|| = (6/sqrt(142), 5/sqrt(142), 9/sqrt(142))^T

tar sedan fram två vektorer vinkelräta mot varandra samt vinkelräta mot v.
Får dessa två vektorer genom att ta fram en bas till Nul(v^T) = { (-5/6, 1, 0)^T; (-3/2, 0, 1)^T }. Alltså:

v2 = (-5/6, 1, 0)^T

v3 = (-3/2, 0, 1)^T

Basen för rotation kring L är då: B = { v1, v2, v3 }

(2) Eftersom kolonnerna i B är ortogonala finns det något som säger att B^(-1) = B^T? Varför är det så?

Och att A = B*R*B^T där R är rotationsmatrisen kring en axel i standardbasen.

Ska man multiplicera ihop matriserna för att få fram A och sedan ställa upp den karakteristiska ekvationen för egenvärdena |A - (lambda)I| = 0 blir det lite väl "jobbiga" siffror att arbeta med tycker jag.... så finns det något annat smidigare sätt att få fram egenvärdena här?

Tack!

Om jag helt inte är ute och cyklar så är väl det enda reella egenvärdet 1 som svarar mot egenvektorn (6, 5, 9). Vektorer som har samma riktning som linjens riktningsvektor kommer inte att påverkas av vridningen och har därmed egenvärde 1. Alla övriga vektorer i rummet kommer att vridas π/3 och där hittar vi inga egenvektorer eftersom alla dessa ändrar riktning.

Det var helt korrekt...!

Tack Otrolig