Differentialekvationer

Hej!
Har kört fast på denna uppg.
Bestäm den lösning till differentialekvationen y' -3y = -1 -6x som uppfyller y(0) = 4.
Tack på förhand!

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation#First_order_equation

Där står den generella lösningsformeln. Tala om var du kör fast.

y' -3y = -1 -6x

homogena lösningen är naturligtvis A e^(3x)
partikulärlösning borde vara polynom, förmodligen a+bx

b - 3a - 3bx = -1 -6x
b=2
b-3a=-1
2-3a=-1
3=3a
a=1
yp=1+2x

y=1+2x + A e^(3x)

Okej, jag kör fast redan i början...hur jag skall börja tänka :/

Hur hade du gjort om uppgiften var y' -3y = 0? Det är där du ska börja.

Okej, tack!
Då hade jag skrivit : y= C*e^3x
och med villkoret så : y(0) = 4 --> 4=C*1 dvs C=4 y=4*e^3x

Alla ekvationer på denna form (linjära) har alla lösningar:

y = yp + yh

där yp är en partikulärlösning och yh är den homogena lösningen. Det beror på att om

y' -3y = -1 -6x
(yh + yp)' -3(yh + yp) = -1 -6x
yh' + yp' -3yh - 3yp = -1 -6x
yh' - 3yh + yp' -3yp = -1 -6x

Notera att om yp är en lösning till yp' -3yp = -1 -6x (partikulärlösning betyder bara att det är en lösning, vilken som helst) så gäller

y' -3y = -1 -6x
yh' - 3yh + yp' -3yp = -1 -6x
yh' - 3yh = 0

Därför behöver du hitta yp och yh. yh har olika metoder för att hittas. I ekvationer av din typ brukar man behöva testa med Acos(ax), Asin(ax), och Ae^(ax). I detta fall finner du att Ae^(3x) är den enda lösningen. Hittar du flera ska de adderas

Då behövs bara partikulärlösningen. Notera att deriveringar kan aldrig göra ett polynom till ett icke-polynom. Därför måste yp vara ett polynom. Ansätt a+bx (du kan ha fler termer, men det kommer inte hjälpa). Testa dig fram och svaret blir rätt.

y=1+2x + A e^(3x)

y(0)=1+2*0 + A e^(3*0) = 4
A = 3

y = 1+2x + 3 e^(3x)

Tack!

Exakt. Där har du den homogena lösningen, och den totala lösningen kan alltid skrivas y=y_h+y_p där y_h är den honogena lösningen och y_p är partikulärlösningen.

Partikulärlösningen kräver ofta lite mer erfarenhet och löses inte lika generellt som den homogena.

Men eftersom y'-3y=-1-6x kan det vara en bra idé att testa med y_p=A+Bx.

Två uppgifter, hjälp uppskattas:

1)
En lösning till differentialekvationen y’+ky=2sin2x+2cos2x är y=sin2x. Bestäm den allmänna lösningen.

2)
Lös differentialekvationen y’+2y=e^(-2x).

Facit:

1) är ej rätt. Prova att derivera.

Jag får
y(x) = Ce^(-kx) + A sin(2x) + B cos(2x)
där
A = 2(k+2)/(k^2+4)
B = 2(k-2)/(k^2+4)