Största och minsta värde.

Bestäm största och minsta värde till funktionen f(x,y)= x^2 +xy+ y^2 i området D={(x,y): x^2+y^2<=1}

Hur löser jag det här?

När man ser sådana områden ska den första impulsen vara att gå över till polära koordinater. Så vad händer om du gör det?

Är lite osäker på polära koordinater så jag vet inte om det här är rätt med om jag skriver om det som polära kordinater så borde det bli: cos^2 O+ cos O*sin O + sin^2 O eller? men sen förstår jag iaf inte hur jag går vidare efter det där.

Du har missat r:et. Ansatsen x = rcos(θ), y = rsin(θ) ger f = r²cos²(θ) + rcos(θ)·rsin(θ) + r²sin²(θ) = r²(cos²(θ) + cos(θ)sin(θ) + sin²(θ)) = r²(1 + cos(θ)sin(θ)) = r²(1 + (sin(2θ))/2).

Området blir r²cos²(θ) + r²sin²(θ) ≤ 1 <=> r²(cos²(θ) + sin²(θ)) ≤ 1 <=> r² ≤ 1.

För det första konstaterar man att maximum och minimum existerar ty funktionen är kontinuerlig och området vi optimerar över är kompakt. Maximum och minimum kan finnas i tre olika punkter:

1. Inre punkter där ∇f = 0
2. Punkter som är icke deriverbara.
3. Punkter på randen.

Vi börjar från början, ∇f = (2x + y, 2y + x) = (0, 0) och löser vi detta får vi kandidaten (0, 0).

Eftersom funktionen är deriverbar för alla (x, y) ∈ R² och så även för området D (den kompakta enhetskivan x² +y² ≤ 1) har vi inga kandidater här.

Vi ska nu titta på randen, och vi parametriserar genom polära koordinater. Sätt därför x = cosφ och y = sinφ vilket ger g(φ) = f(cosφ, sinφ) = cos²φ + cosφsinφ + sin²φ = 1 + cosφsinφ = 1 + 1/2·sin2φ. Denna funktion maximeras då sin2φ = 1 och minimeras då sin2φ = -1. Vi kan enkelt reda ut att innanför intervallet 0 ≤ φ < 2π maximeras funktionen g(φ) då φ = π/4 eller φ = 5π/4 och minimeras då φ = 0 eller φ = π/2. För g(φ) gäller alltså att maximum är 3/2 och minimum är 1/2.

Till sist gör vi en kontroll vad vår första kandidat ger, och vid insättning får vi att f(0, 0) = 0. Därmed kan vi sammanfatta:

Minimum: Antas i (0, 0) och är 0.
Maximum: Antas i (1/√2, 1/√2) eller (-1/√2, -1/√2) och är 3/2.

Sätt u = (x+y)/√2, v = (x-y)/√2.
Då gäller u² + v² = x² + y² så D = { (u,v) : u² + v² ≤ 1 }.
Vidare gäller x² + xy + y² = (3/2)u² + (1/2)v².
Här kan vi direkt utläsa att max är 3/2 och hittas på randen, och min är 0 och hittas i origo.